Глава 2. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

§ 6. Определение процесса с независимыми приращениями

Вероятностный процесс

называется процессом с независимыми приращениями, если выполнены следующие два условия:

(II) при случайные величины независимы.

Таким же образом определяется последовательность с независимыми приращениями

В этом случае вместо (II) достаточно требовать, чтобы были независимы

При изучении последовательностей с независимыми при ращениями основной является следующая теорема существования:

Теорема 1. Для любой последовательности одномерных распределений на некотором вероятностном пространстве можно определить последовательность с независимыми приращениями так, чтобы распределение было равно

Доказательство. Предположим, что искомые найдены. Тогда независимы и их распределения равны Поэтому распределение бесконечномерного случайного вектора является прямым Произведением распределений

Теперь для доказательства достаточно провести следующее рассуждение. Положим

Если для положить

то будет искомой последовательностью.

Приведем соответствующую теорему для случая процесса с независимыми приращениями. Пусть — процесс с независимыми приращениями, и пусть распределение Если то является суммой двух независимых величин поэтому

Теорема 2. Если система распределений удовлетворяет условию (6.2), то на соответствующем вероятностном пространстве можно определить процесс с независимыми приращениями такой, что распределением будет

Доказательство. Чтобы понять, как построить предположим, что известно, и найдем характеристическую функцию случайного вектора Положим Для

Если все координаты кроме

равны нулю, то

Учитывая независимость получим

где характеристическая функция распределения следовательно,

Уяснив себе, таким образом, как должно определяться распределение проведем доказательство теоремы. Для определим формулой (6.4). Для того чтобы установить корректность определения достаточно доказать, что в случае, когда одно из например равно нулю, определяется через

при помощи выражения, стоящего справа в формуле (6.4). Но это очевидно, так как из предположенного нами соотношения (6.2) вытекает, что

Далее, правая часть в (6.4) как функция от является характеристической функцией некоторого -мерного распределения. Действительно, рассмотрим на распределение Это — вероятностное пространство; обозначим его через и определим на нем случайные величины Эти величины независимы и имеют распределения Поэтому, если положить

и обозначить через характеристическую функцию случайного вектора то правая часть формулы (6.4) будет равна Поэтому, согласно теореме Колмогорова (см. стр. 15), является характеристической функцией некоторого распределения Положим тогда

будет вероятностным пространством. Если теперь для положить по определению будет искомым процессом с независимыми приращениями.