§ 12. Простейшие свойства процессов с независимыми приращениями

Пусть процесс с независимыми приращениями. Из определения процесса с независимыми приращениями и принципа увеличения степени рассеивания вытекает, что

В частности, полагая получаем, что неубывающая функция от Множество точек разрыва является не более чем счетным. является суммой следующих трех непересекающихся множеств:

Определим, как это делалось в предыдущем параграфе, для каждого константу такую, что

Положим, далее,

Выберем последовательность Тогда будет последовательностью с независимыми приращениями; при этом поэтому последовательность сходится почти наверное. Так как

то можно положить т. е. сходится почти наверное. Обозначим предел этой последовательности через при фиксированном определено всюду, за исключением множества -меры 0 (исключительное множество может зависеть от Найдем теперь такой же предел для последовательности обозначим его через Объединим последовательности в последовательность и найдем соответствующий предел Ясно, что

Следовательно, с вероятностью 1 не зависит от выбора Исключительное -множество может зависеть от и от последовательности Для определения возьмем последовательность Рассмотрим Это также последовательность с независимыми приращениями, и так как

то последовательность сходится почти наверное. Следовательно, также сходится почти наверное. Так как

то также сходится почти наверное. Обозначим предел этой последовательности через Он также не зависит от выбора

Теорема 1.

Прежде чем доказывать эту теорему, докажем следующую лемму.

Лемма. Если при каждом случайные величины независимы и если при они сходятся почти наверное соответственно к то случайные величины и также независимы.

Доказательство. Имеем

Обозначим распределения и через , а распределение случайного вектора через тогда по приведенной выше формуле характеристическая функция распределения будет равна характеристической функции распределения Поэтому эти два распределения совпадают, а это значит, что и независимы.

Доказательство теоремы. Согласно только что доказанной лемме независимы. При этом

поэтому если то равно константе (с вероятностью 1). Так как следовательно,

эта константа должна быть равна нулю, т. е. Если то не является константой, То же можно сказать относительно . В итоге получаем утверждение теоремы.

Теперь определим процесс с независимыми приращениями объединив только скачки Однако, вообще говоря, нельзя рассматривать такое простое определение как

потому что возникает вопрос о сходимости бесконечной суммы. Так как счетное множество, его элементы можно расположить в последовательность: Положим

причем если то вместо нужно взять Здесь константа, такая, что является частичной суммой ряда из независимых случайных величин, причем по принципу увеличения степени рассеивания поэтому сходится почти наверное. Обозначим предел этой последовательности через Ясно, что Учитывая это, можно легко показать, что не меняется при изменении способа расположения в последовательность. Непосредственно из определения вытекает

Теорема 2. процесс с независимыми приращениями; является чисто разрывной неубывающей функцией, возрастающей только скачками в точках множества

При

при

Положим теперь выбирается так, чтобы и исследуем поведение

Теорема 3. процесс с независимыми приращениями; является непрерывной функцией

Доказательство. Ясно, что если положить

то это будет процесс с независимыми приращениями. Так как сходится почти наверное к то, согласно приведенной выше лемме также процесс с независимыми приращениями. Так как то определены Поэтому определены также По теореме являются с вероятностью 1 константами. Принимая во внимание получаем, что эти константы должны быть равны нулю; следовательно, выполнено (12.1). По теореме 1 отсюда вытекает, что не имеет точек разрыва. Из всего вышесказанного следует, что имеет место разложение

где функция от (не содержащая со), процессы с независимыми приращениями, чисто разрывно, непрерывно. При этом

и, следовательно, справедлива формула (12.1). Относительно связи имеет место следующее утверждение:

Теорема 4. Два процесса с независимыми приращениями независимы. (Это значит, что случайные векторы независимы.)

Доказательство. Так как

независимы, то по свойствам независимости, о которых говорилось в § 3 независимы. Поэтому для любых -мерные случайные векторы и независимы. Так как приведенная выше лемма верна также для -мерных случайных векторов, то независимы. Поэтому независимы.

Из сказанного ясно, что при изучении процессов с независимыми приращениями можно изучать отдельно случаи, когда чисто разрывно и когда непрерывно. Все процессы первого типа можно получить с помощью следующей конструкции. Выберем счетное подмножество отрезка Поставим в соответствие каждой точке из две случайные величины пусть все случайные величины независимы. При этом пусть для всех ряд

сходится после центрирования (см. конец § 11). Вычтем из частичной суммы этого ряда последовательность центрирующих констант Дуба и перейдем к пределу. Полученный предел обозначим через Мы получили процесс с независимыми приращениями, обладающий чисто разрывным 8). О случае, когда непрерывно, мы будем говорить в нескольких следующих параграфах.