§ 3. Теория меры как основа теории вероятностей.

2. Построение теории

Возьмем некоторое множество и назовем его пространством элементарных событий. Пусть В — некоторая -алгебра множеств на . Пусть задано какое-нибудь распределение вероятностей на ; тогда , рассматриваемое вместе с называется вероятностным пространством . Оно является частным случаем пространства с мерой, поэтому на нем можно развить теорию интеграла Лебега. Измеримую функцию на называют случайной величиной. Пусть случайная величина. Распределением случайной величины называется функция множества

Это распределение вероятностей на Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется

Через распределение среднее значение выражается следующим образом:

Измеримая функция не обязательно является интегрируемой, поэтому среднее случайной величины может и не существовать.

Если имеется несколько случайных величин, можно определить случайный вектор. Пусть А — конечное или бесконечное множество, и пусть каждому элементу а из поставлена в соответствие случайная величина Формула

определяет функцию на со значениями в При этом она измерима в том смысле, что

Функцию называют случайным вектором. Если мощность А, то говорят об -мерном случайном векторе. В частности, записывая двумерный случайный вектор в виде получим комплексную случайную величину. Распределение случайного вектора определяется также формулой (3.1); вектор среднего значения можно определить, проинтегрировав каждую компоненту. Пусть отображение из в таково, что

Тогда называется борелевски измеримым, или В-измеримым или просто измеримым. Если измеримое отображение в , а случайный вектор, принимающий

значения из то является случайным вектором, изменяющимся в . В этом случае вектор среднего значения задается формулой

где распределение Говорят, что является измеримым относительно

Если есть несколько случайных векторов то, объединив их, мы можем определить новый многомерный случайный вектор

Если распределение является прямым произведением распределений то случайные векторы называются независимыми. Независимость выражается условием

для любых различных

Пусть сумма попарно не пересекающихся множеств, и пусть независимые случайные векторы. Тогда случайные векторы

независимы. Если случайные векторы независимы, а отображения измеримы, то случайные векторы также независимы.

Если независимые комплексные (или действительные) случайные величины, то

Это утверждение называется правилом умножения средних значений.

Имеются различные определения сходимости последовательности случайных величин (или векторов)

Одно из наиболее естественных определений следующее:

где обозначает длину вектора. Так как измеримая функция от и

то множество в левой части формулы (3.12) измеримо. Формула (3.12) означает, что его -мера равна 1. Такую сходимость называют сходимостью почти всюду, сходимостью с вероятностью 1 или сходимостью почти наверное и обозначают (почти наверное).

Рассмотрим немного более слабое, чем это, понятие сходимости.

Определим сходимость последовательности условием

для любого

Эту сходимость называют сходимостью по вероятности и обозначают Распределение в этом случае сходится к распределению в некотором смысле, о котором будет сказано ниже.

Если конечно, то можно определить сходимость формулой

Эта сходимость называется сходимостью в среднем в степени Особенно часто употребляется сходимость в среднем при называемая просто сходимостью в среднем. Сходимость в среднем является более сильным условием, чем сходимость по вероятности.