§ 11. Степень рассеивания

Как было сказано выше, дисперсия характеризует степень рассеивания распределения. Но так как дисперсия может не существовать, то область применения этого понятия ограничена. Поэтому для всех распределений вводится другая характеристика, играющая ту же роль? что и дисперсия,

Для одномерного распределения степенью рассеивания называется величина

Значение двойного интеграла в скобках называется степенью концентрации распределения и обозначается через Для случайной величины мы определим как значения соответственно для ее распределения Из определений сразу очевидно следующее:

существует последовательность такая, что сходится по вероятности к нулю.

Доказательство. Ясно, что из второго условия следует первое. Покажем обратное. Из вытекает, что

распределение случайной величины Поэтому существует последовательность такая, что

т. е.

Отсюда

Доказательство. Если то

откуда

Обратно, пусть для всех Тогда имеем:

Если мы теперь выберем достаточно большое такое, что а затем достаточно большое такое, что то получим Поэтому

(VI) Если характеристическая функция то

Отсюда следует, что если то или, что то же, Таким же образом, если по вероятности), то

Доказательство. Обозначим через распределение, полученное из отражением в нуле; тогда характеристической функцией распределения будет поэтому

(VII) (Принцип увеличения степени рассеивания.) случайные величины х и у независимы, то то же, причем знак равенства имеет место, лишь когда распределение случайной величины у является -распределением.

Доказательство. Пусть характеристическими функциями случайных величин у являются соответственно Имеем

Чтобы выполнялось равенство, необходимо, чтобы для тех в которых Но в некоторой окрестности точки поэтому в этой окрестности Обозначим через распределение случайной величины у и через свертку распределения и распределения полученного из путем отражения в нуле. Характеристическая функция распределения равна причем симметричное распределение; поэтому в некоторой окрестности а точки выполняется равенство

Проинтегрировав по от — а до а и разделив на 2а, получим

Но так как

то

Следовательно, единичное распределение , и общее -распределение.

Пусть теперь последовательность с независимыми приращениями, Так как является суммой независимых случайных величин то Положим

тогда имеют место следующие теоремы.

Теорема существует последовательность такая, что последовательность сходится почти наверное; при этом

Теорема 2.

Доказательство. Что касается теоремы 2, она содержится в (V). Докажем теорему 1. Пусть или, что то же, Имеем

Из того, что получаем, что на некотором множестве положительной меры

откуда

Поэтому на некотором множестве положительной меры

Мы можем считать, что мера множества (обозначим ее ) конечна. Обозначим через распределение через свертку и распределения получаемого из отражением в нуле. Тогда

Так как то функция

непрерывна при причем Кроме того, при по теореме Римана — Лебега,

при

Поэтому нижняя грань положительна:

Следовательно, проинтегрировав получим

Но так как

то для некоторой последовательности имеем

Следовательно,

Положим теперь

из полученных выше результатов вытекает, что

Из первого соотношения по лемме Бореля — Кантелли получаем, что с вероятностью 1, начиная с некоторого номера Из второго соотношения получаем

откуда по теореме 1 из § 10 ряд сходится почти наверное. Поэтому ряд также сходится почти наверное, а значит, и последовательность

сходится почти наверное. Если обозначить через характеристическую функцию для то

откуда

а следовательно,

Последовательность упоминаемую в теореме 1, называют последовательностью центрирующих констант. Если -последовательность центрирующих констант, а сходящаяся последовательность, то является последовательностью центрирующих констант.

Следующая теорема дает способ нахождения последовательности центрирующих констант.

Теорема 3. Если выполнены условия теоремы выбраны так, чтобы

то последовательность является последовательностью центрирующих констант.

Ее называют последовательностью центрирующих констант Дуба.

Доказательство. Прежде всего заметим, что написанным выше условием определяется однозначно. Если изменяется от до то

непрерывно и монотонно убывает от до Поэтому это выражение обращается в 0 в одной и только одной точке Далее, если выполнены условия теоремы 1, то имеется последовательность центрирующих констант Если мы покажем, что последовательность сходится, то тем самым будет доказана теорема 3. Для этого докажем, что последовательность имеет только одну предельную точку. Пусть где подпоследовательность натурального ряда. Так как

то имеем

Поэтому с определяется однозначно.

Замечание. В случае, рассматриваемом в теореме 1, ряд называется сходящаяся после центрирования; в случае, рассматриваемом в теореме -рассеивающимся.