§ 26. Эргодическая теорема для стационарных в сильном смысле процессов

Пусть измеримый стационарный в сильном смысле процесс. Ясно, что

Предположим, что эта величина конечна. Так как функция измерима по совокупности переменных то для почти всех она измерима как функция При этом для

Поэтому для любого конечного отрезка и для почти всех имеем

Если этот интеграл конечен для любой пары целых чисел а и (таких пар счетное число), то он конечен для любых Поэтому для почти всех этот интеграл конечен для всех отрезков.

Теорема 1. Если то для почти всех существует предел

Его называют выборочным средним значением.

Доказательство. Прежде всего докажем следующую лемму:

Лемма. Если -стационарная последовательность" то для почти всех существует предел

Доказательство. Пусть вместе с распределением случайного вектора образуют вероятностное пространство , Рассмотрим взаимно однозначное отображение на себя

Это сохраняющее меру преобразование. Пусть функция сопоставляет последовательности число тогда и для почти всех (относительно ) существует

Поэтому для почти всех имеем

и лемма доказана.

Теперь перейдем к доказательству теоремы. Положим

это стационарная последовательность (так как доказательство этого мало поучительно, мы его опускаем). Согласно приведенной выше лемме, для почти всех существует предел

Далее, если то

Поэтому достаточно доказать, что последние два члена стремятся к нулю. Применив проведенное выше рассуждение к получим

поэтому разность этих выражений

Отсюда

Пусть бэровская функция от переменных; тогда

также измеримый стационарный в сильном смысле процесс. Поэтому если

то, применяя доказанную выше теорему к можно доказать существование предела

В частности, если стало быть, то существует

Следовательно, также существует

Функция называется выборочной корреляционной функцией. Ясно, что

Так как

то можно записать в виде

Функцию называют выборочной спектральной функцией. Очевидно, что

однако

Знак равенства достигается в частном случае, когда т. е. Ясно, что равносильно так как

Как было показано в предыдущем параграфе,

Если при помощи этого выражения мы формально вычислим то получим

Отсюда получаем символическое соотношение

Этому интересному факту можно придать строгий смысл при помощи общего гармонического анализа Винера. Точный смысл этой формулы состоит в том, что для любой ограниченной непрерывной функции выполнено соотношение