§ 18. Каноническая форма безгранично делимых распределений

Пусть безгранично делимое распределение. Как было показано в § 16, Ф можно рассматривать как распределение для некоторого стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями Будем считать сепарабельным, так как всегда можно взять сепарабельную модификацию. Применяя результат предыдущего параграфа, получаем

Так как пуассоновская мера, не зависящий от сепарабельный гауссовский процесс, то, полагая получим

Вводя обозначение получаем

Если мы здесь положим то левая часть формулы станет равной т. е. характеристической функции распределения случайной величины Полагая получим

где действительное число, мера, такая, что

Это — каноническая форма Леви для безгранично делимого распределения. Обратно, если для удовлетворяющих написанным выше условиям, определить формулой (18.1), то получится характеристическая функция безгранично делимого распределения. Действительно, обозначим через совокупность всех таких, что характеристическая функция. Чтобы показать, что (18.1) — характеристическая функция некоторого распределения, достаточно заметить, что

(I) из вида характеристических функций нормального и пуассоновского распределений ясно, что

(IV) если (равномерно на каждом ограниченном множестве), то

Далее, чтобы доказать, что распределение, соответствующее характеристической функции (18.1), безгранично делимо, обозначим через выражение (18.1), в котором вместо подставлены их произведения на Имеем причем при (равномерно на каждом ограниченном множестве); поэтому, если распределения, соответствующие (их существование доказано выше), то

причем стремится к единичному распределению, и, стало быть, безгранично делимое распределение.

Таким образом, мы выяснили, что для того, чтобы функция являлась характеристической функцией безгранично делимого распределения, необходимо и достаточно, чтобы можно было представить в виде (18.1). Можно доказать, что в (18.1) определяются по распределению однозначно; однако доказательство мы опускаем.

Нормальное распределение соответствует случаю, когда в а пуассоновское распределение — случаю, когда носителем является только одна точка

Как уже было показано, безгранично делимый закон можно представить как распределение приращения процесса с независимыми приращениями; этот процесс можно выбрать однородным по времени. Действительно, если записать характеристическую функцию распределения в виде (18.1) и положить то также будет характеристической функцией. Если распределение, соответствующее то, так как имеем Следовательно, существует процесс с независимыми приращениями такой, что распределение равно Так как зависит только от то процесс однороден по времени.

Формулу (18.1) можно также переписать в следующем виде:

где конечная мера на Для подинтегральная функция определяется как предел при т. е. Поэтому -мера одной точки 0 соответствует в (18.1). Вид (18.2) был указан А. Хинчиным.

В частном случае, когда дисперсия распределения конечна, (18.1) можно записать в виде

m в этой формуле и в (18.1) различны, но совпадают. Этот вид был указан А. Колмогоровым. Далее, если

то можно также написать

В этом случае такие же, как в (18.1), а другое.

В частном случае, когда процесс с независимыми приращениями изменяется только скачками, имеем

если же процесс изменяется только положительными скачками, то