§ 23. Предварительные сведения, необходимые для изучения стационарных процессов

Изложим факты, которые используются в теории стационарных процессов.

Теорема Бохнера. (Эту теорему мы уже формулировали в несколько ином виде, когда речь шла о характеристических функциях.) Если комплекснозначная функция, определенная для и обладающая свойствами

(I) (положительная определенность),

(непрерывность в нуле), то можно определить ограниченную непрерывную справа неубывающую функцию такую, что

введено в показатель для удобства.

Теорема Стоуна. Пусть система унитарных преобразований гильбертова пространства обладающая следующими свойствами:

(I) Непрерывность: непрерывно по (достаточно также измеримости).

(II) Групповое свойство:

Тогда возможно спектральное разложение

Если одно унитарное преобразование, то также возможно спектральное разложение:

Эргодическая теорема. Пусть вероятностное пространство, 5 — взаимно однозначное и сохраняющее меру отображение 2 на себя. [Здесь "сохраняющее меру" означает, что, если измеримо, то множества оба измеримы, причем ] Тогда при для почти всех существует

При этом (почти всюду).

Это утверждение имеет название индивидуальной эргодической теоремы Биркгофа.

Мы будем предполагать, что читатель знаком с элементами теории обобщенных функций. Кроме обычных обобщенных функций, принимающих комплексные значения, мы будем также рассматривать обобщенные функции, принимающие значения в гильбертовом пространстве. Их определение — совершенно такое же, как в обычном случае.

С каждым вероятностным пространством естественно связывается гильбертово пространство случайных величин со скалярным произведением Если мы выразим теоретико-вероятностные понятия в терминах гильбертова пространства, то получим следующее:

(в среднем квадратическом)

Если непрерывно по смысле нормы) и ограничено по норме, а то можно определить в смысле сходимости по норме. То же верно и в случае, когда область изменения отрезок. Далее, определим интеграл вида

Особенно важным является случай, когда имеет ортогональные приращения. Это означает, что ортогональны для любых не пересекающихся отрезков . В этом случае существует неубывающая функция (определяемая с точностью до аддитивной константы), такая, что

В частном случае, когда непрерывна справа, также непрерывна справа. Обозначим меру Лебега — Стильтьеса, определяемую по снова буквой

Теперь докажем, что для можно определить Прежде всего в случае, когда ступенчатая функция с ограниченным носителем (обозначим множество таких функций через определим естественным образом. Так как при этом

то можно обычным способом продолжить до отображения из т. е. в . Это то, что мы искали. обладает следующими свойствами: