§ 13. Сепарабельность вероятностного процесса

Пусть -произвольный вероятностный процесс. Так как для каждого является измеримой функцией то любые множества вида

для всех рациональных

и т. д. являются измеримыми, и можно найти их -меру. Далее, если для всех имеем

то С можно записать в виде

таким образом, С является пересечением счетного числа множеств -меры 1, и, следовательно, Если же вместо С рассмотреть множество

то будет пересечением несчетного числа множеств -меры 1, и неясно, будет ли оно измеримо. Конечно, случайно оно может оказаться измеримым и имеющим -меру 1; но оно может быть измеримым и иметь -меру 0, а может оказаться и неизмеримым.

Из сказанного ясно, что по определению вероятностного процесса можно без всяких трудностей рассматривать вероятности событий, которые определяются значениями процесса не более чем в счетном числе моментов времени вероятности же событий, которые определяются значениями в несчетном числе моментов времени, нуждаются в особом рассмотрении.

Многие важные события, связанные с вероятностным процессом, например

непрерывно по

— ограниченная функция

— возрастающая функция

и т. д., определяются условиями, относящимися к несчетному числу моментов времени. Чтобы рассматривать вероятности в этих случаях, необходимо наложить добавочные ограничения на вероятностный процесс. Дуб первый обратил на это внимание и преодолел эту трудность, добавив условие нрзываемой сепарабельности.

Определение. Вероятностный процесс называется сепарабельным, если существует счетное подмножество множества такое, что

Для сепарабельного вероятностного процесса каждое из событий (I), (II), (III) измеримо. Процесс для которого вероятность события (I) равна 1, является сепарабельным.

Вероятностные процессы называются стохастически эквивалентными, если для всех

Из этого вытекает, что для любых и для любого

Вообще, для имеем

С другой стороны, множество С непрерывных функций, определенных на является подмножеством но не принадлежит и соотношение

не обязательно выполнено. Если вероятностный процесс не является сепарабельным, то -множество в левой части последней формулы не обязательно является -изме-римым. То же относится к

Если один из двух стохастически эквивалентных процессов сепарабелен, другой может не быть сепарабельным. Следующая теорема принадлежит Дубу:

Теорема 1. Для любого вероятностного процесса существует стохастически эквивалентный ему сепарабельный вероятностный процесс.

Этот процесс называют сепарабельной модификацией первоначального процесса.

Отсюда следует, что можно изучать лишь сепарабельные процессы, переходя в случае необходимости к сепарабельной модификации.