§ 19. Различные способы построения пуассоновского процесса

Мы уже говорили ранее, что пуассоновский процесс можно определить как вероятностный процесс с целочисленными значениями, возрастающий независимо в различные промежутки времени и удовлетворяющий соотношениям

Докажем теперь это утверждение. Точное выражение условия: процесс возрастает независимо в различные промежутки времени — это требование независимости приращений. Поэтому из (18.6) получаем

Так как при этом скачки — целые положительные числа, то носитель является частью множества

Отсюда и мы получаем

Это означает не что иное, как то, что распределение пуассоновское. То же рассуждение можно провести в том случае, когда вместо в условии (19.1) стоит приращение произвольной неубывающей функции. В этом случае оказывается, что пуассоновский процесс в широком смысле. Например, видоизмененное условие (19.1) можно считать выполняющимся в первом приближении для числа происшествий, возникающих по вине водителей такси. В часы, когда уличное движение слабо, происшествий мало, а в часы пик — много, поэтому однородности по времени нет. Когда случается происшествие, некоторое время все очень внимательны; поэтому возникает некоторое сомнение в том, что приращения независимы. Учитывая это, можно получить второе приближение, но здесь мы не будем этого касаться.

Рассмотрим однородный по времени сепарабельный пуассоновский процесс Пусть выборочная функция возрастает в моменты

Тогда -время пребывания соответственно в

Докажем, что случайные величины независимы и имеют одинаковое распределение (так называемое показательное распределение):

Прежде всего для имеем

Следовательно, плотность распределения есть Далее, найдем распределение Для имеем

Поэтому плотность распределения есть Мы доказали наше утверждение для двух величин Аналогично можно проверить, что оно справедливо для величин при любом

Отсюда следует, что можно построить пуассоновский процесс следующим образом. Пусть последовательность независимых случайных величин, и пусть

Тогда

есть пуассоновский процесс. Приведем пример, показывающий полезность этой точки зрения. Пусть время службы электрической лампочки подчинено показательному распределению, т. е. пусть вероятность прекращения ее действия между временем и временем равна Если, как только лампочка перегорит, ее заменяют, то, рассматривая число лампочек, перегоревших за время приходим к пуассоновскому процессу. В случае отсутствия однородности по времени этот способ построения неприменим.

Рассмотрим теперь еще один интересный способ построения пуассоновского процесса. Возьмем за основу случайную величину подчиненную закону Пуассона, и независимые случайные величины подчиненные равномерному распределению на [0, 1]. Пусть также х независимы. Пусть характеристическая функция отрезка Тогда

есть пуассоновский процесс. Действительно, если мы выберем и рассмотрим распределения

то получим

Это означает, что пуассоновский процесс. Аналогичное построение возможно и в случае отсутствия однородности по времени.