§ 7. Примеры процессов с независимыми приращениями

Рассмотрим ряд бросаний монеты. Пусть число выпаданий решетки до бросания Если положить

то будет равно единице или нулю, в зависимости от того, что выпало при бросании: решетка или герб. Следовательно, распределение случайной величины является чисто разрывным, причем вероятность каждого из значений 0 и 1 равна При этом является последовательностью независимых случайных величин. Поэтому будет последовательностью с независимыми приращениями, и ее математическую модель можно построить по теореме 1 предыдущего параграфа.

Теперь рассмотрим задачу о случайном блуждании. Пусть пьяный человек, выходя из некоторой точки на дороге, идущей с востока на запад, двигается, выбирая совершенно случайно после каждого шага, идти ему на запад или на восток. Пусть положение, в котором он находится после шагов (положительное, если он восточнее точки отправления, и отрицательное, если западнее). Если то равно +1 или —1, в зависимости от того, направлен шаг на восток или на запад; вероятность того и другого равна Другими словами, распределение случайной величины чисто разрывное, и Так как мы можем считать системой независимых случайных величин, то является последовательностью с независимыми приращениями, и ее модель также можно построить по теореме 1 предыдущего параграфа.

В качестве примера процесса с независимыми приращениями рассмотрим пуассоноеский процесс. Это такой процесс с независимыми приращениями для которого распределение случайной величины является пуассоновским распределением Здесь X — положительная константа. В силу результатов § 4

набор распределений удовлетворяет условию (6.2), и поэтому к этому набору можно применить теорему 2 предыдущего параграфа. Из определения пуассоновского распределения легко вывести, что при

Пусть некоторые явления происходят или не происходят независимо в различные промежутки времени, причем вероятность того, что одно явление произойдет в промежутке равна Если обозначить через число явлений, происходящих в промежутке то мы получим, как будет показано в § 19, пуассоновский процесс.

Еще одним примером процесса с независимыми приращениями является винеровский процесс — непрерывный аналог случайного блуждания. Этот процесс можно определить как процесс с независимыми приращениями для которого распределение случайной величины является гауссовским распределением Так как в силу § 4 это также удовлетворяет условию (6.2), то можно применить теорему 2 предыдущего параграфа.

Если процесс с независимыми приращениями, то также является процессом с независимыми приращениями. Пусть процессы с независимыми приращениями. Если при этом случайные векторы независимы (иначе говоря, если для любых -мерные случайные векторы и независимы), то также является процессом с независимыми приращениями. Используя эти факты и исходя из пуассоновского и винеровского процессов, можно построить более общие процессы с независимыми приращениями (см. § 17).