§ 10. Сходимость последовательностей с независимыми приращениями

Пусть последовательность с независимыми приращениями. Положим тогда будет системой независимых случайных величин. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы изучить условия

сходимости при Обозначим через С множество тех , для которых сходится; тогда

Поэтому С измеримо относительно Так как сходимость равносильна сходимости то можно также написать

и С измеримо относительно Поэтому, согласно закону нуля или единицы Колмогорова,

Нас интересует, при каких условиях равно 1. Прежде всего дадим достаточное условие.

Теорема 1. Если последовательности обе сходятся, то т. е. сходится почти наверное.

Доказательство. Имеем

поэтому без ограничения общности можно считать Так как

то для любого существует такое что при

По неравенству Колмогорова

Устремляя к бесконечности, получаем:

так как

то из написанной выше формулы вытекает, что

и при получаем

Устремляя а затем а к нулю, получаем

Это показывает, что -мера дополнения к С равна нулю.

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для сходимости почти наверное.

Теорема 2 (теорема о трех рядах). Если

то для того, чтобы последовательность сходилась почти наверное, необходимо и достаточно, чтобы сходились следующие три ряда:

Доказательство. Достаточность. Так как первые два ряда сходятся, то по предыдущей теореме сходится почти наверное. Так как сходится третий ряд, то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью 1, начиная с некоторого номера Поэтому из сходимости почти наверное ряда вытекает сходимость почти наверное ряда

Необходимость. Если мы предположим, что

то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью 1 для бесконечно многих Но равносильно поэтому с вероятностью 1 бесконечное число по абсолютной величине больше вероятностью 1 расходится. Поэтому для сходимости почти наверное или, что то же, последовательности необходимо

Если это выполнено, то опять по лемме Бореля — Кантелли из сходимости почти наверное ряда вытекает сходимость почти наверное ряда Пусть распределение распределение, полученное из путем отражения в нуле; Носитель распределения содержится в поэтому носитель распределения содержится в Кроме того, ясно, что

Обозначим через характеристическую функцию распределения тогда характеристической функцией распределения является Как было доказано выше, ряд сходится почти наверное, поэтому

Следовательно, отлично от нуля в некоторой окрестности точки Поэтому

откуда получаем

т.е.

Для достаточно малых имеет место неравенство

поэтому, если достаточно малое положительное число, то (учитывая, что носитель содержится в получаем

Из этого ясно, что , а следовательно, и ряд сходятся. Поэтому, согласно теореме 1, ряд сходится почти наверное. Но по предположению ряд сходится почти наверное, поэтому ясно, что ряд сходится.

Теорема 3. Следующие три условия равносильны:

(I) распределение сходится;

сходится по вероятности;

сходится почти наверное.

Доказательство. Очевидно, Покажем, что Если распределение, а его характеристическая функция, то по (I) при распределение сходится к некоторому распределению Обозначим через характеристическую функцию распределения . В некоторой окрестности точки величина больше некоторого положительного числа При этом сходится к равномерно на каждом ограниченном множестве, поэтому для любого можно найти такое что при

Теперь положим и обозначим через распределение, соответствующее распределение Ясно, что при

откуда

Проинтегрировав по от — а до а и разделив на 2а, получим

Так как существует такая константа что

то

Отсюда

т.е. при

Это показывает, что сходится по вероятности. Остается доказать, что Это доказывается так же, как теорема 1, только вместо неравенства Колмогорова нужно использовать неравенство Оттавиани.