§ 14. Сепарабельный пуассоновский процесс

Мы уже определили пуассоновский процесс как процесс с независимыми приращениями такой, что распределение — является пуассоновским распределением Если этот процесс является сепарабельным, его называют сепарабельным пуассоновским процессом. Так как существует пуассоновский процесс и можно взять его сепарабельную модификацию, то ясно, что существует сепарабельный пуассоновский процесс.

Теорема 1. Если — сепарабельный пуассоновский процесс, то его выборочная функция с вероятностью 1 является ступенчатой функцией, возрастающей только скачками величины 1. (При этом значение в точке скачка находится между пределами справа и слева.)

Доказательство. Согласно определению сепарабельности, в существует счетное подмножество такое, что -мера следующего -множества равна 1:

Если дано то -мера множества

равна 1, потому что вероятностный процесс имеет пуассоновское распределение Так как распределение есть то, очевидно, -мера множества

равна 1. Так как — счетное множество, то -мера множества

также равна 1. Далее, если то как функция является ступенчатой функцией, возрастающей скачками величины Чтобы завершить доказательство, покажем, что -мера множества тех со, для которых имеет скачки величины , равна нулю. Для этого достаточно показать, что -мера множества тех , для которых имеет скачки величины при равна нулю. Положим

Имеем

откуда

Определение. Пусть произвольный вероятностный процесс. Если для любого

то этот вероятностный процесс называют стохастически непрерывным (непрерывным по вероятности) в точке 5. Если процесс является стохастически непрерывным во всех точках множества то его называют стохастически непрерывным вероятностным процессом.

Так как для рассмотренного выше (сепарабельного) пуассоновского процесса

то он стохастически непрерывен. При этом то, что выборочные функции сепарабельного пуассоновского процесса являются ступенчатыми функциями, может показаться противоречащим стохастической непрерывности этого процесса. Каждая отдельная выборочная функция имеет, вообще говоря, точки разрыва, но моменты разрывов изменяются при изменении со. Если рассматривать один момент времени, то вероятность того, что в этот момент произойдет разрыв, равна

нулю. Действительно, если есть множество тех , для которых то однако

Если стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями и распределение — является пуассоновским распределением, то называют пуасооновским процессом в широком смысле. Введем обозначение тогда из стохастической непрерывности следует, что непрерывная функция Распределение есть . В частном случае пуассоновского процесса, о котором шла речь выше, . В этом смысле его называют однородным по времени пуассоновским процессом.

Теорема Утверждение теоремы 1 справедливой для сепарабельного пуассоновского процесса в широком смысле.

Имеет место также обратная теорема:

Теорема 2. Если дан стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями и его выборочная функция с вероятностью 1 является ступенчатой функцией, возрастающей только скачками величины 1, то этот процесс является сепарабельным пуассоновским процессом в широком смысле.

Доказательство. Пусть рассматриваемый процесс с независимыми приращениями есть Сепарабельность очевидна, так как выборочные функции являются ступенчатыми. Поэтому достаточно показать, что распределение — является пуассоновским распределением. Из стохастической непрерывности следует, что для и существует такое, что

По теореме Бореля о покрытиях можно выбрать не зависящим от и в отрезке Разобьем отрезок

на равных частей; приращение на каждом из маленьких отрезков обозначим через и положим

Далее, положим равным или 0, если соответственно или

Из предположения относительно выборочных функций вытекает, что

Далее, положим тогда, так как то, согласно сказанному выше, равномерно по Кроме того, так как

независимы, то

также независимы.

(I) В случае, когда (где конечно), имеем

Из

следует, что последнее выражение равно и ясно, что распределение у является пуассоновским распределением.

(II) Случай, когда имеет конечный предел некоторая подпоследовательность последовательности ничем не отличается от случая (I).

(III) Случай, когда Так как при становится малым равномерно по то для любого

и можно определить так, чтобы

Если мы положим то так же, как в случае (I), получим

Так как мы можем выбрать произвольно большим, а при правая часть стремится к нулю для то Теперь, устремляя к нулю, получаем противоречие: Следовательно, случай (III) невозможен.