§ 16. Стохастически непрерывные процессы с независимыми приращениями и безгранично делимые распределения

В § 12 уже было доказано, что любой процесс с независимыми приращениями можно разложить на три слагаемых:

так, что будут выполняться следующие условия: непрерывно и чисто разрывно и функция только от независимы. Так как при этом мы выяснили строение то остается задача изучения Как уже было сказано,

разумеется, является стохастически непрерывным. Однако (16.1) не означает, что выборочные функции непрерывны, на что мы обращали внимание при рассмотрении пуассоновского процесса.

Возникает вопрос, как описать все стохастически непрерывные процессы с независимыми приращениями.

Теорема 1. Пусть стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями. Для любого если выбрать последовательность то будет сходиться почти наверное к то же верно для последовательности

Разумеется, исключительное -множество сходимости, вообще говоря, зависит от выбора и последовательности

Доказательство. По предположению стохастической непрерывности, сходится по вероятности к . В случае последовательности имеем

причем отдельные члены независимы, и по теореме 3 § сходится почти наверное. Следовательно, сходится почти наверное к То же будет и в случае

Класс распределений вероятностей, который получается, если рассмотреть распределения приращений всевозможных стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями, совпадает, как мы увидим несколько ниже, с классом так называемых безгранично делимых распределений. Этот класс, в частности, содержит пуассоновское и нормальное распределения.

Если одномерное распределение удовлетворяет неравенству

то мы будем писать То, что стремится к единичному распределению, равносильно тому, что для любого существует такое, что, как только Обозначим через распределение приращения стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями. Из стохастической непрерывности вытекает, что для любого и любого и существует такое что

Но по теореме Бореля о покрытиях при можно выбрать не зависящим от и Выберем достаточно мелкое разбиение отрезка

Если то, согласно сказанному выше,

При этом в силу независимости приращений

Грубо говоря, представляется в виде свертки распределений, сколь угодно близких к единичному.

Теперь, отвлекаясь от процессов с независимыми приращениями, будем называть распределение безгранично делимым, если для любого имеет место разложение следующего вида:

Из соотношений

легко выводится, что нормальное и пуассоновское распределения безгранично делимы. Ясно, что распределение приращения стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями (обозначенное выше также является безгранично делимым. Обратно, имеет место

Теорема 1. Для безгранично делимого распределения можно определить стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями , так, чтобы распределение было равно

Доказательство. Если то можно положить Если не принимать во внимание этот особый случай, можно считать Теперь определим константу с равенством

(как это делалось при определении последовательности центрирующих констант Дуба); будем называть эту константу центральным значением распределения и обозначать

через Если , то центральное значение равно При доказательстве теоремы можно предположить, что Действительно, рассмотрим для распределение где это распределение — также безгранично делимое, причем его центральное значение равно нулю. Обозначим процесс с независимыми приращениями, полученный него, через тогда процесс с независимыми приращениями, соответствующий

Пусть -множество всех рациональных чисел в [0, 1]; постараемся определить систему распределений

так, чтобы были выполнены следующие четыре условия:

Выберем последовательность положительных чисел такую, что пусть для этих имеет место разложение распределения вида

Заменяя, если нужно, на мы можем

Пусть среди нет -распределений. Тогда возрастает вместе с Для данного определим I соотношением

а для таким же образом определим положим

Тогда

можно рассматривать как систему, являющуюся приближением Для выполнены условия (I), (II), (III), но (IV) выполнено только приближенно. Выберем из подпоследовательность и попытаемся определить как ее предел. Для этого предварительно докажем следующую лемму:

Лемма. Если то существуют подпоследовательность последовательности и последовательность действительных чисел такие, что последовательность сходится к некоторому распределению . В частном случае, когда можно положить

Доказательство. Пусть функция распределения Так как из вытекает, что

то без ограничения общности можно предположить, что

Из этого условия получаем:

Так как по предположению имеем

Выберем достаточно большое и сделаем правую часть большей, чем ; тогда, выбрав подходящее получим

Отсюда по Теперь выберем подпоследовательность последовательности так, чтобы последовательность сходилась к некоторому затем Выберем из подпоследовательность — обозначим ее опять через -так, чтобы последовательность

сходилась к монотонной неубывающей непрерывной справа функции всюду, за исключением счетного числа точек. Так как то также сходится к в указанном смысле; следовательно, сходится к всюду, за исключением счетного числа точек. При этом и

Далее, пусть произвольное число, большее, чем повторяя проведенные выше рассуждения для получим, что подпоследовательность последовательности всюду, за исключением счетного числа точек, сходится к и

Но так как первоначальная последовательность сходится к то мы имеем откуда

Так как произвольно, то, полагая получаем Следовательно, соответствует одномерному распределению сходится к . В случае, когда из

следует, что откуда вытекает, что последовательность сама является сходящейся.

Возвратимся к доказательству теоремы. Так как

то по лемме можно выбрать подпоследовательность последовательности и последовательность чисел так, чтобы последовательность

сходилась. Выбор подпоследовательности вообще говоря, зависит от но, учитывая, что 5 счетно, мы можем,

применяя диагональный процесс, выбрать подпоследовательность, общую для всех Из второго утверждения леммы следует, что Это показывает, что можно положить Действительно, для этого достаточно, чтобы последовательность сходилась. Очевидно, что

но, согласно выбору левая часть и в правой части сходятся. Поэтому последовательность также должна сходиться. Обозначим предельное распределение через тогда для и из вытекает Так как то Далее, имеем

Так как то сходится к единичному распределению. Поэтому, устремляя в последнем неравенстве к бесконечности, получаем

т. е. Поэтому

удовлетворяет условиям (I), (II), (III), (IV).

По теореме 2 § 6 существует процесс с независимыми приращениями такой, что распределение равно . (В теореме § 6 рассматривался случай, когда область Т изменения t является отрезком; но доказательство без изменений переносится на случай ) Далее, если для произвольного выбрать то -последовательность с независимыми приращениями, и так как

то последовательность сходится почти наверное. Обозначим ее предел через тогда является

процессом с независимыми приращениями. Так как непрерывно по то процесс стохастически непрерывен.