Глава 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

§ 22. Определение стационарного процесса

Стационарные процессы описывают явления, имеющие стационарный характер относительно течения времени. Существуют два определения стационарности — сильное и слабое. Пусть вероятностный процесс. Положим

Если для всех

называют стационарным процессом в слабом смысле. В этом случае является константой функцией от Если же для всех

то называют стационарным процессом в сильном смысле.

Теорема 1. Если процесс стационарен в сильном смысле и то процесс стационарен в слабом смысле.

Доказательство. Из стационарности в сильном смысле вытекает, что

Следовательно, мы установили, что конечны. Так как при этом

то из стационарности в сильном смысле вытекает стационарность в слабом смысле.

Обратное может быть неверно; однако для гауссовских процессов имеет место следующая теорема:

Теорема 2. Если гауссовский вероятностный процесс стационарен в слабом смысле, то он стационарен в сильном смысле.

Доказательство. Выберем произвольные и положим

тогда из предположения гауссовости получаем, что равно . В силу стационарности в слабом смысле, если мы в вместо подставим то они не изменятся; поэтому

т. е. процесс стационарен в сильном смысле.

Сказанное выше остается без изменения в случае, когда в качестве области изменения вместо прямой берется множество целых чисел {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. В этом случае называют стационарной последовательностью.

Можно дать определение стационарности также и в случае, когда принимает комплексные значения (комплексный вероятностный процесс). В отличие от действительного случая здесь полагают

число, комплексно сопряженное Теорема 1, разумеется, остается без изменений. Имеется также теорема, сооттсвующая теореме чтобы ее сформулировать,

необходимо ввести понятие комплексного гауссовского распределения (см. §§ 27, 28). В дальнейшем мы будем рассматривать только комплексные стационарные процессы, не оговаривая этого особо.