§ 2. Распределения вероятностей

Пусть X — некоторое множество; В — некоторая -алгебра состоящая из подмножеств множества Неотрицательную счетно-аддитивную функцию (меру) определенную на элементах В (множествах) и удовлетворяющую условию

называют вероятностной мерой на или распределением вероятностей, или просто распределением.

Прежде всего рассмотрим простейший случай, когда — конечное множество. Пусть — элементы . В качестве В в этом случае обычно берется множество всех подмножеств Если задать меры множеств, состоящих из одной точки, то мера любого множества определяется формулой

Следовательно, в этом случае достаточно задать функцию точки Ясно, что условия, которым должна удовлетворять следующие:

В частности, когда не зависит от следовательно, говорят, что —равномерное распределение.

Случай, когда -счетное бесконечное множество, по существу ничем не отличается от случая конечного множества, только в этом случае отсутствует равномерное распределение.

Задача сразу же усложняется в случае, когда X есть множество всех действительных чисел. За исключением особых случаев, нельзя в качестве В взять 2 — множество всех подмножеств Наиболее естественный способ получения В состоит в том, чтобы построить наименьшую -алгебру множеств, содержащую все открытые множества. Элементы называют борелевскими множествами. Пусть —распределение вероятностей на Если мера любой окрестности точки положительна, то называют точкой носителя а множество всех этих точек называется носителем меры . В частном случае, когда точка разумеется, является точкой носителя Такую называют точкой разрыва меры Множество всех точек разрыва является не более чем счетным. Если то говорят, что мера чисто разрывная; если то меру называют непрерывной. Еще более сильным условием, чем непрерывность, является абсолютная непрерывность: если из того, что обычная лебеговская мера множества равна нулю, вытекает, что то меру называют абсолютно непрерывной. В этом случае имеет плотность и мы можем написать

Условия, которым должна удовлетворять плотность следующие:

Непрерывное распределение вероятностей называют сингулярным, если для всякого абсолютно непрерывного распределения условие для всех влечет за собой Чисто разрывные распределения, абсолютно непрерывные распределения и сингулярные распределения — три важных вида распределений на любое распределение представляется в виде выпуклой линейной комбинации распределений этих трех видов. (а является выпуклой линейной комбинацией

если а можно представить в виде Это утверждение имеет название теоремы Лебега о разложении мерых).

Пример 1. -распределение . -распределением называют чисто разрывное распределение, для которого множество точек разрыва сводится к одной точке а. Иначе говоря, определяется условиями: если если . В частном случае, когда это распределение называют единичным.

Пример 2. Биномиальное распределение натуральное число). Это чисто разрывное распределение с множеством точек разрыва оно задается формулой

Название "биномиальное распределение" объясняется тем, что равно члену разложения бинома

Пример 3. Пуассоновское распределение Это чисто разрывное распределение с оно задается формулой

Пример 4. Нормальное (или гауссовское) распределение действительное число, Это абсолютно непрерывное распределение с плотностью, задаваемой формулой

Пример 5. Распределение Коши (-действительное число, ). Это абсолютно непрерывное распределение с плотностью, задаваемой формулой

В случае, когда X есть -мерное пространство все обстоит почти так же, как и в случае . В качестве В так же, как и в одномерном случае, берется наименьшая -алгебра содержащая все открытые множества. Элементы этой -алгебры называют борелевскими множествами. Три вида распределений и теорема Лебега о разложении остаются без изменений.

Пример 6. -распределение такое же, как в одномерном случае, только а теперь принадлежит

Пример 7. Полиномиальное распределение - натуральное число, . Это чисто разрывное распределение, состоит из точек таких, что

Пример 8. Нормальное распределение (а — точка из положительно определенная матрица). Это распределение является абсолютно непрерывным, его плотность

Здесь — результат применения линейного преобразования обратного к V, к вектору , а символ обозначает скалярное произведение.

Как уже сказано, переход от одномерного пространства к пространству измерений несложен; но переход от измерений к бесконечному числу измерений сопряжен с трудностями. Например, в пространстве бесконечного числа измерений не существует обычной меры Лебега, как в случае

поэтому невозможно определить такое понятие, как абсолютная непрерывность. Пусть А — любое множество; будем обозначать через множество всех функций ставящих в соответствие каждому элементу а множества А действительное число. Если А — конечное множество, то конечномерное пространство, а если это множество бесконечно, то становится бесконечномерным. Точками пространства являются функции; значения этих функций можно рассматривать как координаты в пространстве

Отображение в ставящее в соответствие функции ее -координату называется проекцией и обозначается Отображение в ставящее в соответствие точке пространства вектор (а все различны), также называется проекцией и обозначается Если есть -мерное борелевское множество, то подмножество задаваемое формулой , т. е. прообраз множества при отображении называется цилиндрическим борелевским множеством в Наименьшая -алгебра множеств, содержащая все цилиндрические борелевские множества, обозначается через а ее элементы называются борелевскими множествами в пространстве

Пусть распределение на Для попарно различных определим распределение формулой

Это распределение называют проекцией распределения Обозначим через систему всех удовлетворяет условиям согласованности Колмогорова, приводимым ниже.

Если числа расположенные в другом порядке, то

Обратно, для системы распределений удовлетворяющей этим двум условиям, существует одно и только одно

распределение на удовлетворяющее (2.12). Это утверждение называют теоремой Колмогоровах).

Пусть теперь для каждого элемента а из определено распределение на Если в этом случае положить

(прямое произведение то удовлетворяет условиям . Следовательно, согласно теореме Колмогорова, по этому определяется распределение на Это распределение называют прямым произведением распределений и обозначают Ясно, что распределение на для которого

Точно так же, если различные многомерные (конечно-или бесконечномерные) распределения (размерность может зависеть от а), то можно определить их прямое произведение.