§ 21. Устойчивые распределения и устойчивые процессы

Если два распределения при некотором связаны формулой

называются однотипными,

Если функции распределения и характеристические функции распределений суть соответственно то (21.1) равносильно

или

Распределение случайной величины X и распределение однотипны. Нормальное распределение со средним значением 0 и стандартное нормальное распределение однотипны.

Если свертка любых двух распределений однотипных с снова однотипна с то распределение называют устойчивым Если устойчиво, то распределение, однотипное с устойчиво. Стандартное нормальное распределение устойчиво.

Устойчивость распределения можно выразить в терминах его характеристической функции следующим образом: для любых существует такое, что

Учитывая это, мы можем доказать следующую теорему:

Теорема 1. Устойчивое распределение является безгранично делимым.

Действительно, из (21.2) следует существование такого что откуда

Если то откуда или 0. Так как непрерывно и то Поэтому распределение является единичным и, разумеется, безгранично делимым. Если 1, то Действительно, если бы

существовало такое что то, устремляя в к бесконечности, мы получили бы противоречие. Из вытекает есть -распределение. Это также безгранично делимое распределение. Если то, подставляя в формулу вместо получим

Так как является характеристической функцией и при стремится равномерно на каждом ограниченном множестве к 1, то (21.4) показывает, что является безгранично делимым распределением.

Согласно приведенной выше теореме, можно записать в виде

и (21.2) принимает вид

Отсюда можно получить следующую теорему:

Теорема 2.

Так как при теорема справедлива с то мы исключим этот случай из рассмотрения. Согласно (21.6), для положительного целого числа существует такое что

Если для рационального положить то

Покажем, что однозначно, определяется по Если мы предположим, что но при этом то получим противоречие. Действительно, полагая получаем

Следовательно, но это — случай, который мы ключили. Согласно для положительных рациональных чисел

Следовательно, Из (21.7) вытекает, что

Если бы при было то мы получили бы, что т. е. противоречие. Следовательно, если то и при имеем Поэтому ограничено, когда изменяется в конечном отрезке. При имеем Действительно, пусть некоторая последовательность стремится к а. Согласно сказанному выше, а конечно. Если подставить эту подпоследовательность в (21.7), то, переходя к пределу, получим Следовательно, . Из сказанного выше вытекает, что равномерно непрерывно по в конечном отрезке. Поэтому, если мы для положительного действительного числа положим (-рациональное число), то получим

Из последних двух условий вытекает, что откуда получаем

Полагая получаем Кроме того,

поэтому

Так как то Теорема доказана.

Функция является характеристической функцией безгранично делимого закона, поэтому можно определить однородный по времени процесс с независимыми приращениями такой, что

Запишем в виде (21.5); тогда математическое ожидание числа скачков на отрезке от нуля до величины которых принадлежат равно Далее, если мы для положим то это также будет процесс с независимыми приращениями, и

Поэтому математическое ожидание числа скачков от 0 до величины которых принадлежат равно Так как то последнее выражение равно математическому ожиданию числа скачков от 0 до величины которых принадлежат Поэтому

откуда получаем

и

При получается то же самое.

Положим

Теорема 3. Или нормальное распределение, или

Доказательство. Если то нормальное распределение. Если же одно из чисел положительно, то из

вытекает, что

Будем рассматривать отдельно три случая в зависимости от значения

В этом случае

поэтому

Сумма интегралов в этом выражении есть (при ). Например, при

Рассматривая порядок при из получаем Поэтому

Следовательно, в этом случае выборочная функция соответствующего процесса с независимыми приращениями с вероятностью 1 является чисто разрывной функцией, изменяющейся только скачками. При этом, за исключением особого случая число скачков с вероятностью 1 бесконечно. Уже было показано, что константа в теореме 2 не меньше нуля. Заметим теперь, что если то следовательно, есть -распределение, константа). Но это может быть только в случае, когда т. е. когда единичное распределение (не следует забывать, что . Так как

то функция абсолютно интегрируема. Распределение соответствующее имеет непрерывную плотность (хотя выборочные функции чисто разрывны!)

(б) . В этом случае

Поэтому

Так как интегралы равны то, сравнивая порядок левой и правой части при получим и

Число скачков соответствующего процесса с независимыми приращениями и сумма абсолютных величин скачков с вероятностью 1 равны бесконечности. Однако если взять любое то сумма абсолютных величин скачков в степени

с вероятностью 1 конечна. В самом деле, скачков, величины которых больше единицы, конечное число; поэтому достаточно рассмотреть скачки, меньшие единицы по абсолютной величине. Так как среднее их суммы

то и сама она с вероятностью 1 конечна.

Так как

и, кроме того,

то

Характеристической функции отвечает распределение Коши. Поэтому соответствующий процесс с независимыми приращениями называют процессом Коша.

Процессы с независимыми приращениями, соответствующие устойчивым распределениям, называются устойчивыми. Полный перечень таких процессов получится, если присоединить к процессам, описанным в пунктах гауссовский процесс (см. теорему 3), а также вырожденный процесс константа).