Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 1. Теория меры как основа теории вероятностей.

1. Наглядное введение

Двое людей, бросают поочередно монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет решетка. Решим ряд задач, считая, что игру начинает А.

1. Какова вероятность того, что выиграет Л?

2. Сколько раз в среднем нужно бросить монету, чтобы кто-то выиграл?

Прежде всего выясним, каковы варианты, возможные при игре. Обозначая решетку через О, а герб через мы можем написать:

Здесь случай, когда у А при первом бросании выпадает решетка и игра заканчивается его выигрышем; у А выпадает герб, а у Б - решетка и игра на этом заканчивается. случай, когда раз выпадает герб и только при бросании впервые выпадает решетка. Игра заканчивается только тогда, когда при бросании монеты А или выигрывает. Наконец, случай, когда у А и у Б все время выпадает только герб. В этом случае игра длится

бесконечно. Случаи являются различными вариантами этой игры и имеют название элементарных событий; их совокупность

называется пространством элементарных событий.

Теперь рассмотрим вероятность каждого из элементарных событий. При первом бросании выпадание решетки и герба равновероятно, поэтому вероятность равна 1/2; вероятность всех остальных элементарных событий, вместе взятых, также равна 1/2. Вероятность равная 1/2, по той же причине должна распределиться поровну, т. е. по 1/4, между Продолжая это рассуждение, получаем, что вероятности элементарных событий равны соответственно 1/2, 1/4,

Обозначим через вероятность элементарного события тогда в рассматриваемом случае можно написать

Всякое подмножество пространства элементарных событий мы будем называть событием. Пусть -некоторое событие (подмножество 2). Вероятность события мы можем определить, складывая вероятности всех элементарных событий из Е:

Таким образом, мы получаем функцию множества Эта функция множества называется распределением вероятностей.

Рассмотрим задачу 2. Для каждого элементарного события определим, сколько раз нужно бросить монету, чтобы кто-то выиграл. Например, для ее нужно бросить 1 раз, для раза, для раз. Это число бросаний является функцией, которая определена на пространстве элементарных событий. Обозначим ее через Функция, определенная на пространстве элементарных событий, называется случайной величиной. Задача 2 состоит в том, чтобы найти среднее значение случайной величины Среднее случайной

величины можно определить различными способами. Наиболее часто используется следующий способ:

Величина называется математическим ожиданием случайной величины

Перейдем теперь к задаче 1. В случае выигрыша А число нечетно. Запишем условие выигрыша -нечетное число". Вероятность выполнения этого условия равна вероятности события состоящего из элементарных событий, удовлетворяющих этому условию. Таким образом,

Попытаемся выделить наиболее существенное в рассмотренном примере. Основой всех рассмотрений являются множество 2, называемое пространством элементарных событий, и распределение вероятностей на нем. Функция, заданная на множестве 2, называется случайной величиной, а ее математическое ожидание определяется первым равенством в формуле (1.4). Выполнение некоторого условия, касающегося элементарных событий, или множество элементарных событий, удовлетворяющих этому условию, называется событием. Если множество 2 является счетным, как в рассмотренном выше примере, то можно задать вероятность каждого элементарного события, так, чтобы сумма этих вероятностей была равна 1. Но если в качестве берется, скажем, совокупность точек прямой или плоскости или совокупность различных движений частицы в броуновском движении, то распределение вероятностей нельзя уже построить так просто. Имеет место очевидная аналогия между распределениями вероятностей и распределениями масс. Математической теорией распределений масс является теория меры; именно поэтому теория меры оказалась применимой к распределениям вероятностей.

С тех пор как в основу теории вероятностей была положена теория меры, наступил конец тому положению, когда

многие рассуждения основывались только на интуиции и здравом смысле. Теория вероятностей стала точной математической наукой, и круг ее приложений значительно расширился.