§ 31. Обобщения стационарных процессов

Прежде всего скажем несколько слов о стационарных последовательностях. Нельзя сказать, что это обобщение стационарных процессов; но мы заодно поговорим и о них. Что касается определений стационарности в слабом смысле, стационарности в сильном смысле и гауссовости случайной последовательности

то они такие же, как в случае стационарного процесса. Для гауссовской стационарной последовательности так же, как и раньше, нет необходимости различать стационарность в сильном и слабом смысле. Предположим, что Хинчиновское спектральное разложение имеет вид

где мера на [0, 1). Колмогоровское спектральное разложение следующее:

Для стационарных последовательностей свойства стационарных процессов сохраняются почти без изменений и даже принимают более простой вид.

Стационарные обобщенные процессы. Вероятностный процесс можно рассматривать как функцию от зависящую от как от параметра. Рассматривая обобщенную функцию от зависящую от параметра со, мы получим то, что естественно называть обобщенным случайным процессом. Для обобщенного случайного процесса можно рассматривать два определения — сильное и слабое. Обозначим через К совокупность финитных бесконечно дифференцируемых функций от — совокупность обобщенных функций. Пусть функция от и которая для всех (или для почти всех) значений со, если ее рассматривать как функционал над функциями принадлежит К, а для любой является измеримой функцией от ; тогда называется обобщенным процессом в сильном смысле. Если же для любой рассматриваемая как функция от , принадлежит и отображение задаваемое формулой

является обобщенной функцией, принимающей значения из т. е. то называется обобщенным процессом в слабом смысле. Пусть обобщенный процесс в сильном смысле удовлетворяет условию стационарности в сильном смысле:

Распределение и распределение совпадают.

Тогда этот процесс называют стационарным обобщенным процессом в сильном смысле. Пусть дан измеримый стационарный в сильном смысле процесс и пусть Если мы положим определению

то получим стационарный обобщенный процесс в сильном смысле. Действительно, согласно неравенству для почти всех

(так как среднее значение этого интеграла конечно); из этого сразу ясно, что как функция является локально интегрируемой. Следовательно, формула (31.4) задает обобщенный процесс в сильном смысле. Можно также доказать, что этот процесс обладает стационарностью в сильном смысле (31.3).

Пусть теперь задан обобщенный процесс в слабом смысле такой, что

инвариантны относительно сдвигов:

Такой процесс называют стационарным обобщенным процессом в слабом смысле. Например, стационарный в слабом смысле процесс можно рассматривать как обобщенный стационарный процесс, если положить

(интеграл понимается в смысле сходимости по норме). Действительно, полагая имеем

Отсюда вытекает инвариантность относительно сдвигов, а также то, что можно записать в виде

Последний факт выводится из того, что обладает

инвариантностью относительно сдвигов; поэтому для произвольного стационарного обобщенного процесса в слабом смысле

Здесь можно рассматривать как элемент пространства К. Так как

то, применяя обобщение теоремы Бохнера на обобщенные функции, получаем

где

Это обобщение спектрального разложения А. Хинчина. Далее, для существует процесс с ортогональными приращениями такой, что

Это — обобщение спектрального разложения Колмогорова.

Пусть однородный по времени комплексный винеровский процесс (см. конец § 27). Очевидно, что процесс сам не является стационарным. Однако, так как имеет место однородность по времени: рассмотрим производную от в смысле обобщенных функций (то, что обычной производной не существует, ясно из равенства обозначим ее через Тогда получим стационарный обобщенный процесс в слабом

смысле. Действительно, найдем Имеем

(а — произвольное); поэтому

Выберем теперь а так, чтобы носители функций входили в Тогда

( обозначает -функцию Дирака). Это показывает, что инвариантно относительно сдвигов, и если залисать его в виде Это можно пояснить, записав символически

При этом

поэтому — спектральная функция. Так как в этом случае

то показатель в (31.10) равен 1.

Стационарные процессы с векторными значения Можно рассматривать стационарный процесс значения которого являются -мерными векторами. Объясним кратко, что такое стационарный в слабом смысле процесс. Положим этим мы не ограничим общности. Функция принимает матричные значения:

где или, в тензорной форме,

В случае, когда является функцией только от процесс называют стационарным в слабом смысле. Пусть

Г. Крамер нашел формулу спектрального разложения обобщающую спектральное разложение А. Хинчина. Именно, существует функция значения которой — квадратные матрицы порядка такая, что

Здесь эрмитова матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

Действительно, так как для любых функция

удовлетворяет условию

то

Выражение является эрмитовой формой от Поэтому можно определить функции такие, что

и матрица неотрицательно определена. В многомерном случае можно также получить аналог спектрального разложения Колмогорова.

Случайные процессы, зависящие от времени и пространства. Случайный процесс — понятие, описывающее величины, зависящие от случая и меняющиеся во времени; однако можно также рассматривать величины, изменяющиеся во времени и пространстве. Например, пусть физические условия в момент времени в точке задаются некоторой случайной величиной . Положим

Если эти функции инвариантны относительно сдвигов времени и пространства, то называется стационарным. В этом случае (в дальнейшем положим его равным нулю), является функцией от Для этой функции — и имеет место спектральное разложение

Это соответствует разложению Хинчина. Разложение самого (колмогоровское разложение) — такое же, как в случае стационарного процесса.

Далее, бывают случаи, когда, кроме однородности по пространству, предполагается изотропность. В этом случае можно записать в виде где — длина вектора Мера также изотропна относительно пространства:

(r означает длину вектора , - точку, в которой а пересекает единичную сферу). Имеем

Функцию К можно выразить через функцию Бесселя следующим образом:

Изотропная турбулентность. До сих пор каждому моменту времени и каждой точке пространства соответствовала зависящая от случая скалярная величина теперь мы предположим, что эта величина не скалярная, а векторная. Например, может означать турбулентную скорость в момент времени в точке пространства . Чтобы легче было разобраться по существу в трудностях, зафиксируем момент времени Тогда можно писать Предположим, что Далее, определяется как

Это — элемент пространства — тензорного произведения касательных пространств в точках . В том случае, когда эта функция инвариантна относительно изометрических преобразований пространства, и называется изотропной турбулентностью. Говоря подробнее, эта инвариантность имеет следующий смысл. Пусть произвольное изометрическое преобразование. Оно переводит точку в точку и индуцирует изометрическое преобразование касательной плоскости в точке на касательную плоскость в точке а также изометричное преобразование на Обозначим последнее также через При помощи инвариантность можно записать в виде

или, что то же,

Теперь выберем в пространстве ортогональную систему координат в выберем параллельную ей ортогональную систему Тогда имеем

Поэтому (31.16) можно записать в виде

или, что то же,

В частном случае, когда единичная матрица, получаем

Следовательно, — функция от Обозначим ее через тогда, согласно (31.18),

Теперь введем обозначение

тогда написанная выше формула будет равносильна следующей: ортогональная матрица. (31.19)

Из определения легко вывести, что а) является положительно определенной функцией ; поэтому

Используя то, что является билинейной формой относительно получаем

где неотрицательно определенная билинейная форма от При этом в силу инвариантности также инвариантна:

Поэтому можно записать в виде

Здесь элемент поверхности на единичной сфере, конечные меры на мера, сосредоточенная в начале координат -пространства. Обратно, если определить функцию при помощи формулы (31.20) по вида (31.21), то она будет соответствовать изотропной турбулентности.