§ 5. Вероятностные процессы

При исследовании многих физических явлений приходится иметь дело с величинами, зависящими от случая и изменяющимися с течением времени. Общим математическим понятием, позволяющим описывать такие явления, служит понятие вероятностного процесса (случайного процесса, стохастического процесса). Это понятие определяется следующим образом. Пусть основное вероятностное пространство, —множество действительных чисел. Вероятностным процессом называют случайную величину зависящую от . В приложениях обозначает время, а значение зависящей от случая величины в момент времени Что касается выбора то это может быть и дискретное множество, как и непрерывное, такое, как интервалы . В первом случае говорят о случайной последовательности.

Вероятностный процесс можно также рассматривать как бесконечномерный случайный вектор Его значения принадлежат Но элементы являются действительными функциями, определенными на поэтому для каждого со определяется некоторая функция. В этом смысле вероятностный процесс можно называть случайной функцией. Функцию от определяющуюся при фиксированном со, называют выборочной функцией или выборочным процессом. Так как вероятностный процесс является случайным вектором, принимающим значения в то его распределение является распределением вероятностей на Если это распределение — нормальное (гауссовское), то процесс называют гауссовским вероятностным процессом.

Если при каждом является измеримой функцией от со, принимающей комплексные значения, то называют комплексным вероятностным процессом. В § 27 понятие гауссовского вероятностного процесса будет распространено на случай комплексных вероятностных процессов.