§ 4. Функция распределения, характеристическая функция, среднее значение, дисперсия

Будем обозначать распределения на через . Функцией распределения называется функция

Условия, которым должна удовлетворять функция следующие:

Обратно, любая функция удовлетворяющая этим условиям, является функцией распределения, причем соответствующее распределение вероятностей задается формулой

Если случайная величина, то функция распределения распределения случайной величины задается формулой

Функцию называют функцией распределения

Как было сказано выше, между распределениями и функциями распределения имеется взаимно однозначное соответствие; поэтому распределение можно задавать функцией распределения. Будем в дальнейшем обозначать функции распределения, соответствующие через Сходимость последовательности распределений определяется следующим образом:

для всех точек непрерывности Это условие эквивалентно следующему: для всюду плотной последовательности точек

Его можно также заменить условием

для любой ограниченной непрерывной функции

Если

то из последовательности распределений можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторому распределению.

Преобразование Фурье распределения

называют характеристической функцией распределения Если распределение действительной случайной величины то имеем

Функцию называют также характеристической функцией случайной величины Ясно, что обладает следующими свойствами:

(II) равномерно непрерывна при

(III) положительная определенность: для любых комплексных чисел и любых действительных чисел

Обратно, любая функция непрерывная при положительно определенная и такая, что является характеристической функцией некоторого распределения Это утверждение называется теоремой Бохнера.

Будем в дальнейшем характеристические функции распределений обозначать Свойства, характеризующие соответствие между выписанные ниже, получены в основном Леви.

(III) пусть сходится к некоторой функции для каждого значения (причем не предполагается, что является характеристической функцией некоторого распределения). Тогда, если сходимость равномерна в некоторой

окрестности то является характеристической функцией некоторого распределения Отсюда по

Среднее значение (математическое ожидание) и дисперсия распределения определяются формулами

Среднее значение является в некотором смысле центром распределения, а дисперсия — характеристикой степени рассеивания. Если —распределение случайной величины то равно , а равно . Последнее выражение можно обозначить его называют также дисперсией случайной величины Ясно, что

Пусть независимые случайные величины, их сумма. Пусть распределения их функции распределения; их характеристические функции и дисперсии. Тогда имеем

Чтобы доказать (4.13), обозначим через характеристическую функцию множества Распределение случайного вектора есть поэтому

Остальные соотношения доказываются таким же образом. Отвлекаясь от случайных величин, мы можем определить формулой (4.13) для любых распределений Полученное распределение обозначается и называется сверткой распределений и Если обозначить через характеристические функции распределений то

Для распределения можно определить распределение полученное из путем отражения в нуле:

Характеристическая функция распределения выражается формулой

Если распределение случайной величины то распределением случайной величины является Если распределение выпуклая линейная комбинация распределений то его характеристическая функция является выпуклой линейной комбинацией характеристических функций с теми же коэффициентами. Из сказанного вытекает, что множество С всех характеристических функций обладает следующими свойствами:

(I) С инвариантно относительно взятия выпуклой линейной комбинации;

Из первых трех свойств следует

Если характеристическая функция случайной величины то характеристической функцией случайной величины является

Приведем среднее значение дисперсию V и характеристическую функцию для каждого из одномерных распределений, рассмотренных в качестве примеров в § 2.

Таблица 4.1

Так как то на основании (4.17)

Таким же образом

Заметим, кроме того, что поэтому, согласно соотношению (II) на стр. 20 (внизу),

В этом смысле можно считать -распределение вырожденным нормальным распределением. По тем же причинам можно рассматривать -распределение как вырожденное распределение Коши.

Сказанное выше без существенных изменений переносится на -мерные распределения. Функция распределения в этом случае определяется формулой

Со сходимостью распределений все обстоит точно так же. Характеристическая функция определяется формулой

и ее свойства такие же, как в одномерном случае. Среднее значение и дисперсия становятся соответственно вектором среднего значения и матрицей ковариаций. Их компоненты задаются формулами

Если Ф - распределение случайного вектора то соответствующие задаются формулами

Найдя для примеров -мерных распределений, рассмотренных в § 2, мы получим следующую таблицу:

В определении нормального распределения мы предполагали, что V — положительно определенная матрица. Пусть теперь V — неотрицательно определенная матрица. Если положить единичная матрица), то положительно определенная матрица и можно определить Характеристическая функция этого распределения задается формулой

Поэтому сходится к равномерно на любом ограниченном множестве Поскольку является характеристической функцией распределения также является характеристической функцией некоторого распределения причем будет пределом последовательности распределений Полученное распределение называют нормальным распределением Это согласуется с прежним определением, когда V — положительно определенная матрица. Если V не является положительно определенной, т. е. то нормальное распределение называют вырожденным нормальным распределением. В этом случае носитель распределения не совпадает со всем пространством а является некоторой гиперплоскостью в этом пространстве. В случае вырождения а и V остаются соответственно средним значением и матрицей ковариаций распределения

Наконец, постараемся определить вектор среднего значения матрицу ковариаций V и характеристическую функцию для распределений на бесконечномерном пространстве определяются так же, как в -мерном случае. Что касается характеристической функции, здесь имеются некоторые отличия от предыдущего. -мерном случае в качестве годился любой -мерный вектор, а в бесконечномерном случае в качестве можно брать только те элементы у которых равны нулю почти все (исключая конечное число) координаты. Обозначим множество

всех таких через Для можно определить

так как правая часть этой формулы является в действительности конечной суммой, то вопрос о сходимости не возникает. Для распределения на характеристическая функция определяется формулой

Функция рассматриваемая только на тех у которых отлично от нуля лишь некоторое фиксированное конечное число координат, а все остальные раяны нулю, называется сечением Сечение характеристической функции является характеристической функцией проекции задаваемой формулой (2.12). Теорему Колмогорова (§ 2) можно переформулировать следующим образом: если любое сечение функции от является характеристической функцией, то является характеристической функцией некоторого распределения на это распределение определяется единственным образом.

Используя это, можно определить бесконечномерное нормальное распределение. Пусть любой элемент пространства элемент пространства удовлетворяющий следующим условиям:

(Заметим, что сумма в этом неравенстве конечна.) Если положить

то любое сечение является характеристической функцией нормального распределения (включая вырожденные); поэтому, согласно сформулированной выше теореме Колмогорова, определяет распределение на Это распределение называют нормальным распределением на Проекция этого распределения на соответствует сечению отвечающему и поэтому является нормальным распределением .

Отсюда легко видеть, что являются соответственно средним значением и матрицей ковариаций этого распределения.