Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Функция распределения, характеристическая функция, среднее значение, дисперсияБудем обозначать распределения на
Условия, которым должна удовлетворять функция
Обратно, любая функция
Если
Функцию Как было сказано выше, между распределениями
для всех точек
Его можно также заменить условием
для любой ограниченной непрерывной функции Если
то из последовательности распределений Преобразование Фурье распределения
называют характеристической функцией распределения
Функцию
(II) (III) положительная определенность: для любых комплексных чисел
Обратно, любая функция Будем в дальнейшем характеристические функции распределений
(III) пусть окрестности Среднее значение (математическое ожидание) и дисперсия распределения определяются формулами
Среднее значение является в некотором смысле центром распределения, а дисперсия — характеристикой степени рассеивания. Если
Пусть
Чтобы доказать (4.13), обозначим через
Остальные соотношения доказываются таким же образом. Отвлекаясь от случайных величин, мы можем определить
Для распределения
Характеристическая функция
Если (I) С инвариантно относительно взятия выпуклой линейной комбинации;
Из первых трех свойств следует
Если Приведем среднее значение Таблица 4.1
Так как
Таким же образом
Заметим, кроме того, что
В этом смысле можно считать Сказанное выше без существенных изменений переносится на
Со сходимостью распределений все обстоит точно так же. Характеристическая функция определяется формулой
и ее свойства такие же, как в одномерном случае. Среднее значение и дисперсия становятся соответственно вектором среднего значения и матрицей ковариаций. Их компоненты задаются формулами
Если Ф - распределение случайного вектора
Найдя
В определении нормального распределения мы предполагали, что V — положительно определенная матрица. Пусть теперь V — неотрицательно определенная матрица. Если положить
Поэтому Наконец, постараемся определить вектор среднего значения всех таких
так как правая часть этой формулы является в действительности конечной суммой, то вопрос о сходимости не возникает. Для распределения
Функция Используя это, можно определить бесконечномерное нормальное распределение. Пусть
(Заметим, что сумма в этом неравенстве конечна.) Если положить
то любое сечение Отсюда легко видеть, что
|
1 |
Оглавление
|