§ 25. Спектральное разложение выборочной функции стационарного в слабом смысле процесса

Пусть стационарный процесс в слабом смысле, и пусть имеют место формулы и (24.2) предыдущего параграфа. По теореме о спектральном разложении Колмогорова, имеем

Попытаемся теперь рассмотреть это соотношение для выборочных функций. Интеграл в правой части формулы определяется при помощи сходимости по норме в поэтому соотношение (25.1) для отдельных значений не имеет смысла, Принимая во внимание, что

можно доказать следующую теорему (доказательство мы опускаем).

Теорема 1. Существуют измеримые вероятностные процессы (измеримые соответственно относительно или , стохастически эквивалентные соответственно

Ясно, что между х и у имеет место соотношение (25.1). Пусть в дальнейшем измеримы. В силу измеримости по совокупности переменных (или для почти всех со измеримо относительно (или X).

Заметим, что

и, следовательно, для почти всех

Поэтому медленно растущая обобщенная функция от Таким же образом получаем, что

поэтому также для почти всех есть медленно растущая обобщенная функция от Следовательно, производная от как обобщенной функции также является медленно растущей обобщенной функцией.

Теорема 2. Для почти всех со обобщенная функция , является преобразованием Фурье от обобщенной функции т. е.

Здесь

Доказательство. Так как

то для почти всех имеем

Поэтому, положив для этих

получим

Иначе говоря, для и совпадают как элементы но поэтому и совпадают также

и как элементы Следовательно, в

Положим тогда для любой быстро убывающей функции

т. е. для почти всех имеем . В (25.5) вместо можно подставить поэтому можно считать, что для почти всех X равенство справедливо в Из (25.4) следует, что можно так выбрать чтобы для почти всех X

кроме того, измеримо относительно поэтому можно выбрать измеримым относительно

Функция также измерима относительно Так как при этом при почти всех для почти всех то по теореме Фубини для почти всех со имеем при почти всех Следовательно, формулу (25.4) можно переписать в виде

Теорема доказана.

В рамках общего гармонического анализа Винера формулу (25.3) можно было бы записать так: