§ 17. Строение стохастически непрерывных сепарабельных процессов с независимыми приращениями

Как уже было сказано в § 13, при изучении процессов с независимыми приращениями можно ограничиться сепарабельными процессами с независимыми приращениями. Цель данного параграфа — детально изучить строение стохастически непрерывных сепарабельных процессов с независимыми приращениями. Так как доказательства технически сложны, мы их опускаем.

Теорема . Пусть стохастически непрерывный сепарабельный процесс с независимыми приращениями. Тогда его выборочная функция с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода.

(О функции говорят, что она не имеет разрывов второго рода, если для любого существуют )

Нарисуем на плоскости график функции

Этот график характеризует точки разрыва функции и является подмножеством полосы

Для произвольного борелевского подмножества множества обозначим через число точек в множестве Если бесконечное множество, то независимо от его мощности мы полагаем Функция множества является мерой на . В частном случае, когда множество находится на положительном расстоянии от оси из предположения об отсутствии разрывов второго

рода легко вывести, что конечно. Далее, обозначим через сумму координат и по всем точкам из

В случае, когда содержится в верхней или нижней полуплоскости, мы разрешим принимать значения но если оно имеет точки и выше и ниже оси то иногда нельзя определить. Однако если находится на положительном расстоянии от оси то определено и его значение конечно.

Если — стохастически непрерывный сепарабельный процесс с независимыми приращениями, то, так как его выборочная функция с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода, для нее можно определить указанные выше Они зависят от и являются измеримыми функциями .

Теорема 2. Распределение является пуассоновским.

(При этом распределение случайной величины, тождественно равной бесконечности, условимся считать равным

Теорема 3. Если попарно не пересекаются, то независимы, и если то

Обозначим через систему случайных величин . В силу теоремы очень похоже на пуассоновский процесс. Поэтому называют пуассоновской случайной мерой. Если среднее значение то распределение равно Из аддитивности вытекает, что мера на

В случае, когда находится на положительном расстоянии от оси всегда конечно, поэтому также конечно. Если не находится на положительном расстоянии от оси то может обращаться в бесконечность, но относительно его порядка роста справедлива следующая теорема:

Теорема 4.

Определим просуммировав скачки превосходящие по абсолютной величине, от а до t, т. е.

Это процесс с независимыми приращениями. При последовательность вообще говоря, не сходится, но ее можно сделать сходящейся, прибавляя или вычитая соответствующую функцию от (не зависящую от ). А именно, имеет место

Теорема 5. Пусть

тогда при с вероятностью 1 сходатся равномерно по Если предельный процесс, то тоже процесс с независимыми приращениями, и графики функций с вероятностью 1 совпадают.

По этой теореме с вероятностью 1 является непрерывной функцией от При этом верна

Теорема сепарабельный гауссовский процесс, не зависящий от пуассоновской меры Подводя итог сказанному, получаем: