ГЛАВА 4 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

§ 32. Условные вероятности

Пусть основное вероятностное пространство. Пусть — -алгебра, являющаяся частью В. Множество (или функция), измеримое относительно разумеется, измеримо также относительно В, но обратное не обязательно имеет место. Далее, пусть А — событие, т. е. множество, измеримое относительно В. Согласно Дубу, условная вероятность события А относительно определяется как функция от удовлетворяющая следующим условиям.

измерима относительно следовательно, очевидно, является случайной величиной на .

Если В — множество, измеримое относительно т. е. то

Чтобы показать, что существует одна и только одна (с точностью до множества меры 0) такая функция применим теорему Радона-Никодима. А именно рассмотрим как функцию множества она является конечной мерой на и, так как абсолютно непрерывна относительно (точнее, мажорируется на ). Поэтому существует

одна и только одна с точностью до множества меры О функция, измеримая относительно и удовлетворяющая

Поясним, в каком отношении находится это определение к общеизвестному элементарному понятию условной вероятности. Пусть

— разбиение на конечное или счетное число попарно непересекающихся измеримых подмножеств. Пусть совокупность всех множеств, представимых в виде суммы некоторого числа (нулевого, конечного или счетного) из множеств Ясно, что - -алгебра. В этом случае функция измеримая относительно на каждом из множеств принимает постоянные значения, соответственно Следовательно, заменяя в (32. 1) В на получаем

т. е.

Таким образом, можно записать в виде

Обычно называют вероятностью А при условии В и обозначают Употребляя это обозначение, перепишем (32.3) в виде

Эта формула поясняет связь между приведенным выше определением Дуба и обычным определением.

Далее, пусть случайный вектор, его область значений. Пусть Если координаты то можно также сказать, что -алгебра, порожденная множествами вида

В этом случае из условия измеримости функции относительно В, следует, что ее можно записать в виде

где -измеримая функция на Тогда (32. 1) принимает вид

Пусть распределение тогда, так как

имеем

Левая часть этой формулы, рассматриваемая как функция от является мерой, причем, так как

она абсолютно непрерывна относительно Поэтому написанным выше условием однозначно определяется Это — условная вероятность определенная Колмогоровым. Выше определенная дубовская равна случайной величине, полученной подстановкой вместо . В дальнейшем мы будем обозначать ее через

Пример. Пусть — две действительные случайные величины, совместное распределение которых имеет плотность . Тогда колмогоровская условная вероятность будет иметь вид

Отсюда дубовская равна