§ 43. Марковские процессы (III). Строго марковское свойство

В § 41 мы уже говорили о марковском свойстве. Его можно определить следующим образом: если известно состояние в некоторый момент времени то независимо

от течения процесса в прошлом вероятностный закон его изменений в будущем таков, как если бы процесс выходил из состояния в момент Здесь было произвольным, но постоянным числом. Было бы желательно выяснить, не выполняется ли аналогичное свойство для случая, когда случайная величина. Для произвольной случайной величины оно не выполняется, но можно показать, что для специального класса случайных величин, именуемых марковскими моментами, такое свойство имеет место.

Определение 43.1. марковский момент для если - случайная величина, принимающая значения в такая, что для любого выполнено условие

Мы разрешаем принимать значение в частном случае, когда говорят о конечном марковском моменте.

Ранее мы определили для любой константы Это определение можно распространить на случайные величины, не зависящие от будущего, следующим образом.

Определение 43.2. Если марковский момент для то наименьшую -алгебру, содержащую все -множества вида будем обозначать алгебру будем называть -алгеброй, определяемой

(I) Наиболее простой вариант строго марковского свойства следующий.

Пусть - конечный марковский момент для тогда

и для ограниченной измеримой функции

Достаточно доказать последнее соотношение для непрерывной функции . В этом случае правая часть формулы равна Покажем, что для

Сначала дадим доказательство для случая, когда Для этого заметим, что обе части формулы аддитивны по и поэтому достаточно провести доказательство для случая, когда Положим

Ясно, что следовательно, по непрерывности справа (см. предыдущий параграф) имеем

Положим

Так как все множества принадлежат поэтому также принадлежит Следовательно,

и, используя марковское свойство, получаем

Так как непрерывно вместе с то, полагая получаем (43. 1).

В случае, когда по вышеизложенному для всех

Устремляя получаем (43. 1).

(II) Обобщая приведенный выше результат, получаем

Вообще для имеет место соотношение

Выражая это в терминах условных математических ожиданий, получаем, что для ограниченной измеримой функции на

Достаточно доказать последнее. Так как обе части формулы аддитивны по достаточно рассмотреть случай, когда является произведением конечного числа непрерывных функций только от одной координаты. Изложим здесь доказательство для случая произведения двух функций. В общем случае доказательство проводится так же.

Нужно доказать, что для непрерывных функций на

Метод доказательства — такое же рассуждение, как в (I), в этом случае нужно учесть, что функции

непрерывны; при следовательно,

(III) Используя строго марковское свойство, можно получить следующее свойство, которое в дальнейшем будет часто использоваться. Пусть конечная, не зависящая от будущего величина для Положим

Тогда

Пусть -характеристическая функция тогда

Первый член есть Второй член равен

Поэтому формула (43.2) доказана. Возьмем преобразование Лапласа (по от правой части (43. 3); оно равно правой части (43.2) и, следовательно, равно Так как является преобразованием Лапласа от то ясно, что выполнено (43.3).