§ 40. Инфинитезимальный оператор переходной функции (II). Примеры

Пример 1. Мы уже говорили, что в случае, когда -конечное множество, переходной функции соответствует полугруппа матриц . В этом случае С — векторное пространство, размерность которого равна числу элементов Будем записывать векторы этого пространства как векторы-столбцы; тогда можно отождествить с матричным произведением Следовательно, и инфинитезимальный оператор А можно рассматривать как матрицу, и

В этом случае из получаем (так как пространство С конечномерно). Отсюда следует, что вышеприведенная формула выполнена для любого и

Пусть Все элементы матрицы неотрицательны, поэтому

Кроме того, так как — вектор, все компоненты которого равны 1), то следовательно,

Эти два условия необходимы; но они также являются и достаточными. Проверим, что выполнены условия предыдущего параграфа. Условия и очевидны. Пусть наименьшая компонента вектора и есть

Тогда, принимая во внимание (40. 1) — и (40.2), имеем

Этим доказано Докажем, что для достаточно большого разрешимо уравнение

Формально

Если то ряд, стоящий в правой части, сходится и дает решение уравнения (40. 3).

Пример 2. Найдем инфинитезимальный оператор для переходной функции примера 2 § 35. Для этого прежде всего воспользуемся доказанными в § 37 соотношениями

В дальнейшем обозначают конечные числа. Так как

то

Здесь

а, следовательно,

Из вышенаписанной формулы вытекает, что функция дважды непрерывно дифференцируема, причем так как

то Отсюда

причем для имеем

Теперь рассмотрим оператор , такой, что Ясно, что Далее докажем существование Для этого достаточно показать, что из вытекает Решение и уравнения является решением уравнения

т. е.

Так как ограничено, то т. е. Поэтому

откуда т. е.

Пример 3. Вычислим теперь оператор А для переходной функции примера 3 § 35. Так же, как в предыдущем примере, получим, что элементы области характеризуются следующими условиями: непрерывна определен и конечен,

Оператор задается формулами

Пример 4. Пусть действительные числа, рассматриваемые по . Пусть С — пространство непрерывных функций с периодом 1, определенных на действительных числах. Пусть — совокупность непрерывно дифференцируемых функций в положим для

Покажем, что это — инфинитезимальный оператор некоторой переходной функции. Для этого проверим условия предыдущего параграфа. Условия очевидны. Чтобы доказать достаточно решить уравнение

Здесь функция с периодом 1, и также необходимо искать среди таких функций. Имеем

Так как обращается в нуль при имеем

Эта функция удовлетворяет уравнению Учитывая, что получаем

и, следовательно, имеет период 1.

Таким образом, А является инфинитеэимальным оператором некоторой переходной функции. Соответствующая резольвента задается формулой

Поэтому следовательно,

Разумеется, рассматривается

Пример 5. Пусть так же как и в предыдущем примере, — множество действительных чисел, рассматриваемое по Этот оператор также удовлетворяет условиям поэтому А является инфинитезимальным оператором некоторой переходной функции . Область определения - совокупность дважды непрерывно дифференцируемых функций. Функция задается формулой

где

Пример 6. Пусть такое же, как в предыдущем примере. Пусть совокупность трижды непрерывно дифференцируемых функций. Этот оператор не соответствует переходной функции, так как

не выполняется Чтобы доказать это, построим трижды непрерывно дифференцируемую функцию и с периодом 1, принимающую минимум в нуле, причем такую, что Тогда будет ясно, что условие не выполняется. Для этого достаточно построить функцию и с периодом 1, имеющую в точке разложение и такую, что Например, такой функцией является