§ 38. Теория Хилле-Иосиды (II) Построение полугруппы

Пусть дана полугруппа в смысле предыдущего параграфа. Мы уже говорили о свойствах ее инфинитезимального оператора о его связи с полугруппой. Если А — инфинитезимальный оператор, то ясно, что

А.1) А — линейный оператор,

(А.2) оператор определен на всем

Цель настоящего параграфа — показать, что верно и обратное, т. е. что оператор А, удовлетворяющий этим условиям, является инфинитезимальным оператором некоторой, причем единственной, полугруппы.

Сначала покажем, что из вышенаписанных условий вытекает, что если то

В случае, когда имеем

Для произвольного

Согласно вышесказанному, Имеем

Поэтому также и для доказано, что

Как мы указывали в предыдущем параграфе, если оператор А ограничен, то полугруппу для которой А является инфинитезимальным оператором, можно задать формулой . В общем случае оператор А не ограничен, и соответствующую полугруппу нельзя определить так просто. Рассмотрим сначала вместо оператора А оператор Как было сказано выше, оператор можно рассматривать как приближение единичного оператора поэтому можно рассматривать как приближение оператора А. Так как при этом

то оператор ограничен. Далее, положим

это — полугруппа, являющаяся приближением искомой полугруппы Покажем, что -полугруппа. Ясно, что Чтобы доказать, что заметим, что

Искомая полугруппа задается формулой

Прежде всего необходимо доказать сходимость этой последовательности. Заметим, что

Чтобы доказать это, достаточно убедиться, что

Так как

то области значений операторов входят в любую из областей определения операторов Теперь доказательство почти сводится к

формальным выкладкам. Непосредственно из формулы (38. 4) вытекает, что

(Напомним, что Поэтому перестановочны с любым из операторов Далее, так как то

Поэтому если мы положим то получим

где

Решая (38.6) так же, как обыкновенное дифференциальное уравнение, получаем

Следовательно, Поэтому, если и стремится к нулю при равномерно, когда находится в конечном отрезке.

Если для произвольного мы выберем близкое к нему и учтем, что

то получим, что сходится равномерно по в каждом конечном отрезке. Обозначим предел через Легко доказать, что полугруппа на Покажем, что инфинитезимальный оператор А полугруппы равен первоначальному оператору А.

(равномерно при ). Поэтому

откуда

Это означает, что Как говорилось в предыдущем параграфе, существует оператор ; кроме того, по предположению, для также существует

Поэтому из следует Но так как оператор, определенный на всем то а, следовательно,

Мы выяснили, что существует полугруппа, инфинитезимальным оператором которой является Что касается ее единственности, достаточно доказать, что если дана другая такая же полугруппа то Так как всюду плотно ограничены, то достаточно доказать, что для Имеем

Решая это уравнение так же, как (38.6), получаем

Поэтому

а, следовательно,

Замечание. Из вышеприведенного доказательства ясно, что нет необходимости требовать выполнения условия для всех если удовлетворяется для можно построить одну и только одну полугруппу инфивитезимальным оператором которой является