§ 57. Распределение момента первого выхода

Пусть интервал регулярности его каноническая шкала и каноническая мера. Выберем подинтервал интервала и пусть а — произвольная точка в Пусть момент первого выхода из Ясно, что ту имеет конечное математическое ожидание, а следовательно, с вероятностью 1 конечно. равно или в зависимости от этого положим

или

равносильно т. е. Как уже было показано в § 55,

Для имеем

Это ясно из (57. 1) и из того, что

Далее, пусть тогда, как доказано в § 55,

и, кроме того,

Действительно, так как регулярная точка, то для ее достаточно малой окрестности имеем Выберем достаточно малым, так что Как только

Пусть тогда и получаем

поэтому

Аналогично

Теорема 57. 1. определяются однозначно условиями (57.2) и (57.3), (57.3) соответственно.

Доказательство. Выше было доказано, что удовлетворяют этим условиям. Теперь, согласйо (57. 1), уравнение имеет два линейно независимых решения; поэтому решение однозначно определяется заданными граничными условиями.

Далее положим для

Теорема 57.2. является единственным решением уравнения

Аналогично является единственным решением

Доказательство. Проведем доказательство для Так же, как до сих пор, пусть

Имеем

Поэтому

Отсюда сразу же получаем

Если мы докажем, что правая часть этого выражения непрерывна по а, то будет доказано, что в

Обозначим через функцию, определенную для другого интервала К так же, как мы определили для У. Многократно используя строго марковское свойство, при получаем

Поэтому монотонно убывает. Непрерывность мы получим, доказав, что если мы выберем с обеих сторон точки с достаточно близкие к ней точки такие, что то

Имеем

Здесь точка между Воспользуемся соотношениями

Возьмем достаточно малую окрестность точки с, так что . Выберем так, чтобы при этом, сближая а и добьемся того, чтобы было

Так как

то

Выбирая достаточно малым, получаем, что

Этим доказана непрерывность

Остается доказать и однозначность решения. Функция убывает при возрастании а, причем находится между 0 и 1. Выберем слева от между а и тогда аналогично неравенству, выведенному нами для при доказательстве непрерывности, получаем

Отсюда ясно, что если а достаточно близко к то Поэтому Аналогичным образом Так как

то

и поэтому

Чтобы доказать однозначность, достаточно показать, что если то Допустим, что и может принимать положительные значения; тогда и принимает положительный максимум внутри Пусть это тогда Поэтому и получаем противоречие. Отсюда Аналогично Поэтому

Теорема 57.3. Функция является единственным решением уравнения

Доказательство. По формуле, использованной при доказательстве предыдущей теоремы,

откуда имеем

Кроме того,

Поэтому удовлетворяет уравнению и граничным условиям теоремы. Доказательство единственности решения — такое же, как в предыдущей теореме.