§ 58. Классические диффузионные процессы

Пусть множество действительных чисел или его интервал Пусть диффузионный процесс на По теореме выполнено соотношение

Если мы предположим, что для некоторого существуют

то, согласно (58.1), эти пределы существуют для всех причем их значения не зависят от Если являются непрерывными функциями от то называют классическим диффузионным процессом в или колмогоровским диффузионным процессом. Используя переходную функцию процесса можно записать следующим образом:

а может принимать положительные и отрицательные значения,

Например, если мы определим для винеровского процесса, то получим

Теорема 58.1. Если функция дважды непрерывно дифференцируема в то и

Доказательство. Так как правая часть вышенаписанной формулы является непрерывной функцией то достаточно доказать, что равно этой правой части. Если мы для выберем достаточно малое то, как только

Поэтому

Согласно (58.1), левая часть не зависит от Следовательно, так как в правой части может быть сколь угодно малым, этот верхний предел Аналогично нижний предел наконец, подучаем

Теорема 58.2. Если то регулярная точка.

Доказательство. Если точка правого переноса, то функция из возрастающая в окрестности У точки удовлетворяет соотношению Однако если мы определим в окрестности формулой

то

Если это выражение становится отрицательным. Поэтому

что противоречит допущению. Поэтому не является точкой правого переноса. Аналогично не является точкой левого переноса. Поэтому она является регулярной точкой.

Теперь определим для дважды непрерывно дифференцируемых функций на оператор

Теорема 58.3. Если то

Доказательство. По теореме Положим и запишем в другой форме:

Здесь Так как то совокупность решений уравнения есть совокупность решений уравнения есть Так как первая совокупность включает вторую. Обе совокупности решений являются двумерными линейными пространствами и поэтому совпадают. Отсюда имеем Далее, если мы положим

то Поэтому или, что то же самое, Отсюда

Поэтому можно считать, что Если то непрерывно. Эта непрерывность означает на самом деле непрерывность так как непрерывно и положительно. Поэтому функция непрерывно дифференцируема. Так как функция непрерывно дифференцируема, то же верно и для окончательно, функция дважды непрерывно дифференцируема. Отсюда Поэтому совпадают, включая и области определения.

Пример 1. Для винеровского процесса

По доказанной теореме этот оператор равен Пусть конечный интервал, вероятность того, что, исходя из процесс достигнет раньше правого конца; тогда, по сказанному в предыдущем параграфе, является решением уравнения

Так как означает, что т. е. что Поэтому имеем

Это показывает, что каноническая шкала.

Далее, является решением уравнения

Так как т. е. то и если определить с и из условия то получим

Найдем каноническую меру

поэтому Чтобы найти также достаточно решить уравнение

Это означает, что

где определяются условием