§ 61. Общее решение однородного уравнения

Пусть — два произвольных решения уравнения

Для этих выражение

называется вронскианом

Теорема 61.1. не зависит от

Лемма 61.1. Пусть функции ограниченной вариации; тогда

обобщенная мера, соответствующая

Утверждение леммы вытекает из того, что

Пользуясь леммой, докажем теорему

В частности, если мы найдем вронскиан из предыдущего параграфа, то получим

Лемма 61.2.

Доказательство.

Лемма 61.3. убывает при увеличении Доказательство.

Лемма возрастает при увеличении

Доказательство.

Лемма 61.5. При

После этой подготовки найдем среди решений однородного уравнения (61. 1) те, которые удовлетворяют двум условиям:

Так как по и то, найдя решение с и можно увеличить его в положительное число раз. То есть можно искать решение в виде

Согласно условию необходимо, чтобы

Далее, согласно и необходимо, чтобы

По приведенным выше леммам, существуют

и необходимо, чтобы у удовлетворяло условию

Обратно, если для такого у положить

то это решение удовлетворяет и при а при рассматривая разложение во, ей можно проверить, что и всюду положительны и являются убывающими функциями. Объединяя все вышеизложенное, получаем следующую теорему.

Теорема 61.2. Убывающее и положительное решение однородного уравнения при условии задается формулой

Здесь у — любое положительное число между .

Если регулярная граница, то искомых решений бесконечное число, и они заключены между противном случае чем решение и определяется однозначно.

Далее, попробуем исследовать значение этого и в Если регулярна, то

В случае границы-выхода также

В случае границы-входа

Кроме того, для достаточно большого

Далее, для достаточно большого у

Если

Действительно,

Поэтому

Следовательно,

и, таким образом,

В случае естественной границы написанная выше формула тоже имеет место, но так как то

Рассматривая таким же методом и учитывая вышеизложенные результаты, можно получить следующую теорему.

Теорема 61.3. Пределы в решения и, о котором говорится в теореме 61.2, а его производной следующие:

Так как эти решения и и линейно независимы, то произвольное решение является их линейной комбинацией конечны, поэтому если обращается в то только из-за того, что обращается в Поэтому верна

Теорема 61.4. Для решения отличного от введенного выше и,