§ 39. Инфинитезимальный оператор переходной функции (I). Общая теория

Пусть введенная в § 35 переходная функция. Как говорилось в § 36, этой переходной функции соответствует полугруппа на С. Инфинитрзимальный оператор полугруппы называют инфинитезимальным оператором переходной функции . Для

Исследуем подробнее область определения Следующие три условия эквивалентны:

Ясно, что (I) Кроме того, является непрерывной функцией от и если дано условие (II), то -предел также непрерывен, причем Поэтому Далее, выведем (I) из (III). Для этого обозначим совокупность функций

для которых выполняется (III), символом . Для положим, по определению,

Ясно, что Если то и поэтому Заметим, что преобразование взаимно однозначно. Чтобы доказать это, прежде всего заметим, что если принимает наименьшее значение при то

Чтобы доказать, что преобразование взаимно однозначно, достаточно показать, что

Так как — непрерывная функция, то у нас есть наименьшее значение Имеем

следовательно, всюду Аналогично из равенства получаем — Поэтому

Далее, так как то Так как имеет обратное преобразование (равное ) и согласно сказанному выше существует также Так как оператор, определенный во всем пространстве С, то

т. е. Поэтому следовательно, получаем

В предыдущем параграфе было показано, что и необходимые и достаточные условия того, чтобы оператор в банаховом пространстве порождал полугруппу. Найдем условия того, чтобы оператор был инфинитезимальным оператором переходной функции .

Теорема 39. 1. Для того чтобы оператор А был инфинитезимальным оператором переходной функции, необходимы и достаточны следующие четыре условия:

Доказательство. Необходимость этих условий легко вывести из определения и общей теории полугрупп; поэтому докажем только достаточность. Прежде всегс докажем, что оператор определен на всем С Так как дано условие то достаточно показать, что преобразование взаимно однозначно, т. е. что следует Так как — непрерывная функция, то она принимает минимальное значение Имеем по

Следовательно, всюду Кроме того, так как то на основании такого же рассуждения всюду — Поэтому Далее покажем, что Пусть Если наименьшее значение то

поэтому

Кроме того, так как то

т. е.

следовательно

Таким образом, условия предыдущего параграфа проверены; поэтому А является инфинитезимальным оператором полугруппы на С.

Покажем, что т. е. если 0 (это означает, что для всех х), то . Докажем сначала, что Достаточно доказать, что если то 0. Пусть наименьшее значение тогда Поэтому

т. е. Следовательно, -Отсюда

а, следовательно,

Далее покажем, что Так как [см. то

поэтому имеем

Так как для каждой пары является линейным функционалом от

то по теореме Риссасуществует распределение вероятностей , такое, что

То, что удовлетворяет условиям, налагаемым на переходную функцию, легко вывести из того, что является полугруппой.

Замечание. Достаточно требовать выполнения условия только для так же, как условия предыдущего параграфа.