§ 54. Феллеровская каноническая мера

Сначала кратко объясним последовательность определения канонической меры. Пусть I, так же как в предыдущем параграфе, - интервал регулярности. Выберем интервал такой, что и положим

Можно показать, что функция является выпуклой вниз относительно и

является возрастающей функцией от а. Функция не обязательно является непрерывной. Пусть так как для

то если мы нормируем эти функции так, чтобы в произвольной фиксированной точке было то Обозначая это через от мы определяем возрастающую функцию на Мера есть феллеровская каноническая мера. Если фиксировано, то от определяется с точностью до аддитивной постоянной; но если мы возьмем в качестве канонической шкалы то от Нужно доказать следующие три теоремы.

Теорема 54.1.

Доказательство. По аналогии с доказательством того, что — покидаемое множество, достаточно, предположив, что при для интервалов вывести для Так как ясно, что выходит из с вероятностью 1, то вычислим Используя строго марковское свойство, получим при

Так как этот ряд сходится.

Теорема 54.2. Функция выпукла вниз относительно следовательно, непрерывна.

Доказательство. Используя строго марковское свойство, при получаем

(это было доказано в более общей форме при доказательстве теоремы Дынкина). Выражая через получаем

Следовательно, функция выпукла вверх, выпукла вниз.

Согласно этой теореме, определена функция (правая производная), а эта функция является возрастающей.

Теорема 54.3. Если. то

Доказательство. Так же, как при доказательстве предыдущей теоремы, для

Если это продифференцировать последние два члена станут константой, и получим