§ 42. Марковские процессы (II). Свойства выборочных функций

Ранее, в § 13, мы говорили о сепарабельности вероятностных процессов, принимающих действительные значения. Рассматриваемые нами сейчас вероятностные процессы принимают значения из компактного пространства обладающего второй аксиомой счетности; поэтому сепарабельность необходимо определить заново.

Определение. Вероятностный процесс принимающий значения в сепарабелен, если для любой действительной непрерывной функции на процесс сепарабелен.

Если дана система действительных непрерывных функций на такая, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить линейными комбинациями конечного числа функций то называют базой действительных непрерывных функций на Так как компактное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, то существует счетная база.

В вышеприведенном определении мы требовали, чтобы процесс был сепарабелен для всех непрерывных функций; но в действительности достаточно требовать этого только для функций базы.

Пользуясь тем, что для вероятностного процесса, принимающего действительные значения, существует сепарабельная модификация, можно доказать, что вероятностный процесс, принимающий значения в также имеет сепарабельную модификацию. Поэтому без ограничения общности можно предположить, что определенные в предыдущем параграфе марковские процессы также и сепарабельны.

Теорема 42.1. Для выборочных функций сепарабельного марковского процесса событие (для всех существуют пределы с обеих сторон) имеет вероятность 1. При этом для каждого отдельного

Доказательство. Для функции такой, что рассмотрим

Имеем

Так как , то

Следовательно, является полумартингалом относительно (§ 34). Далее,

Так как процесс сепарабелен, то следовательно, и сепарабельны. Поэтому, используя теорему 34. 1, получаем

и, за исключением не более чем счетного числа значений

где

Далее докажем, что этих исключительных значений в действительности не существует. Положим тогда Учитывая, что — возрастающая выпуклая функция от легко вывести, что также полумартингал. Отсюда вытекает, что для

Поэтому

Кроме того,

Поэтому Аналогично имеем Окончательно получаем, что выполнено всюду.

Следовательно,

Так как при равномерно стремится к то

Далее пусть последовательность неотрицательных функций разделяющая любые две различные точки из тогда отображение

непрерывно и взаимно однозначно. Здесь в качестве топологии в К взята слабая топология. Так как компактное хаусдорфово пространство, то обратное отображение также непрерывно, и это отображение — гомеоморфизм. Далее, так как для каждой отдельной функции выполнено (42.1), а счетное пересечение множеств вероятности 1 имеет вероятность 1, то

По определению слабой топологии в К,

Так как гомеоморфное соответствие, то

Этим теорема доказана.

Если для сепарабельного марковского процесса положить, по определению,

то по доказанной выше теореме выборочные функции не имеют разрывов второго рода и непрерывны справа, причем процесс стохастически эквивалентен (см. § 13) . Следовательно, предполагая, что выборочные функции марковского процесса не имеют разрывов второго рода и непрерывны справа, мы не ограничиваем общности. В дальнейшем мы сбудем вести изложение для таких процессов, не оговаривая этого особо. Если, кроме того, выборочная функция с вероятностью 1 непрерывна, то процесс называют диффузионным процессом.