§ 60. Частные решения однородного уравнения

Для удобства будем считать, что Кроме того, можно предположить, что

Общее решение однородного уравнения является линейной комбинацией следующих частных решений

Чтобы найти эти достаточно решить следующие интегральные уравнения:

Мы будем говорить о методе нахождения при так как все остается так же и при Если мы положим

то

Однако

не выполнено.

Пользуясь этим обозначением, перепишем написанные прежде интегральные уравнения:

При помощи метода последовательных приближений получаем формальные разложения:

Теперь положим

В качестве упоминаемых в предыдущем параграфе величин можно взять Следовательно, в зависимости от того, является регулярной границей, границей-входом, границей-выходом или естественной границей, величины соответственно обе конечны, только первая конечна, только вторая конечна, обе бесконечны.

По индукции получаем

Поэтому ряды сходятся, и получаем:

Кроме того,

Используя эти неравенства, исследуем пределы Сначала обратим внимание на следующее.

Если — регулярная граница, то если граница-выход, то если граница-вход, то если — естественная граница, то и по крайней мере одно из этих значений есть

Действительно, так как

то поэтому если то Следовательно, в случае регулярной границы и границы-выхода Аналогично в случае регулярной границы и границы-входа

Далее, так как

то . В случае границы-выхода Поэтому Аналогично в случае границы-входа имеем Если обе конечны, то тоже конечны и регулярная граница. В случае естественной границы по меньшей мере одно из обращается в Пример, когда причем естественная граница, можно получить, полагая

Чтобы построить пример, когда причем граница — естественная, достаточно положить

Что же касается примера естественной границы с то, как показано в предыдущем параграфе, он получается при

Теперь в случае, когда регулярная граница или граница-выход, так как по (60.3), то . В случае же, когда граница-вход или естественная, так как то по (60.5)

Что касается то по (60. 6)

Далее, чтобы найти формально продифференцируем почленно полученные ранее разложения тогда получим

Если мы покажем, что эти разложения сходятся равномерно на каждом отрезке, содержащемся вместе с концами в то будет доказано, что эти равенства выполнены. Доказательство этого аналогично оценке разложений Кроме того, так же, как в случае можно показать, что , конечны в случае, когда регулярная граница или граница-вход, и бесконечны, когда граница-выход или естественная граница.