§ 47. Однородные по времени процессы с независимыми приращениями

В примере 2 предыдущего параграфа мы говорили о том, что винеровский процесс можно рассматривать, как марковский процесс на Это можно распространить на любой однородный по времени процесс с независимыми приращениями.

Пусть однородный по времени процесс с независимыми приращениями (разумеется, ). Пусть распределение Это также — распределение каково бы ни было и. По свойству процесса с независимыми приращениями

Распределение безгранично делимо, и его характеристическую функцию можно задать формулой

Здесь действительное число, мера, удовлетворяющая условию

Если теперь для мы положим, по определению,

то получим марковский процесс. Его переходная функция есть

Если написать уравнение Чепмена-Колмогорова для этой переходной функции, то получим (47. 1).

Полугруппа для этого марковского процесса задается формулой

Определим оператор преобразования Фурье:

Пределы берутся в смысле обобщенных функций. Оператор преобразование Фурье в смысле обобщенных функций. Применяя к обеим частям формулы (47.5), получаем

Применение такого преобразования Фурье существенно упрощает изучение полугруппы. Далее применим к обеим частям вышенаписанной формулы преобразование Лапласа по Так как

то от правой части можно взять преобразование Лапласа. Меняя в левой части местами и преобразование Лапласа по получим

Далее, из (47.6) вытекает, что

Так как по свойству преобразования Фурье

(здесь находя формально обратное преобразование Фурье от обеих частей формулы (47.8), получаем

Если мы определим то строго определить А уже будет делом техники.