§ 51. Локальный инфинитезимальный оператор

Мы говорим, что марковский процесс является локальным в точке если для любой окрестности точки

По теореме предыдущего параграфа является локальным в своих точках одномерной диффузии.

Пусть в дальнейшем процесс является локальным в точке Пусть функция непрерывна и ограничена в достаточно малой окрестности V точки тогда, если существует

мы будем говорить, что и обозначать этот предел Так как процесс является локальным в это определение не зависит от выбора обладает следующими свойствами.

(Локальность) Если к вблизи (т. е. в некоторой окрестности то и

(Линейность) Если то и

(Положительность) Если в окрестности имеем то Кром того, ясно, что

После этой подготовки определим локальный инфинитезимальный оператор следующим образом.

Определение 51.1. Если является локальным в каждой точке открытого множества то оператор определяемый формулой

в области

называют локальным инфинитезимальным оператором

Как мы заметили вначале, в точках одномерной диффузии процесс является локальным; поэтому в них можно рассматривать . В этом случае можно определить также следующим образом.

Определение 51.2. Пусть

Это полезная форма определения.

То, что оба определения совпадают, вытекает из того, что

Эта вероятность по теореме 50.3 предыдущего параграфа есть