§ 36. Полугруппа и сопряженная полугруппа, соответствующие переходной функции

Будем употреблять те же обозначения, что в предыдущем параграфе. Пусть С — совокупность непрерывных функций на . С является векторным пространством относительно обычных линейных операций; если, кроме того, ввести еще норму то его можно рассматривать как сепарабельное банахово пространство Определим теперь формулой

Тогда, согласно при можно рассматривать как линейный оператор в С. При этом, используя получаем

Отсюда следует, что

Из вытекает, что

Сопряженное С пространство С есть пространство мер (обобщенных) на поэтому формула (36. 5) означает, что

То есть (36.5) эквивалентно тому, что для любых

Из получаем полугрупповое свойство

Вообще, если дана система ограниченных линейных операторов в сепарабельном банаховом пространстве удовлетворяющая условиям

то ее называют полугруппой операторов на или, короче, полугруппой на

Так как полученная выше система операторов на С удовлетворяет (36.7), то ее называют полугруппой, соответствующей переходной функции .

Далее положим, по определению, для

Тогда, так имеем

Разумеется, здесь полная вариация Принимая во внимание, что

легко видеть, что является сопряженным преобразованием для и поэтому обозначение оправдано. Из уравнения Чепмена — Колмогорова получаем Имеем

Так как С не равно то нельзя говорить, что (в смысле слабой сходимости) единичный оператор в но так как это довольно близкое условие, то говорят, что (в смысле обобщенной слабой сходимости).

Подводя итоги сказанному выше, получаем

Пространство не сепарабельно, и второе из вышенаписанных условий несколько отлично от второго условия в (36. 7); поэтому нельзя называть полугруппой на С. Однако это очень близкие понятия; будем называть сопряженной полугруппой, соответствующей ,