ГЛАВА 5. ДИФФУЗИЯ

§ 49. Точки диффузии

Пусть -марковский процесс в пространстве Сохраним обозначения и предположения предыдущей главы, в частности будем считать, что выборочная функция не имеет разрывов второго рода. Пусть открытое подмножество Если с вероятностью 1 процесс выходящий из произвольной точки а в непрерывен до первого момента выхода из (включая самот), то этот марковский процесс называется диффузионным на в случае, когда процесс является диффузионным на любом открытом множестве V, таком, что он называется диффузионным в Если процесс является диффузионным на то по непрерывности находится на границе множества

Если процесс является диффузионным в U и в V, то он является диффузионным в Выберем открытое множество такое, что достаточно доказать, что для процесс с вероятностью 1 непрерывен при Если мы выберем достаточно большие открытые множества такие, что то Далее рассмотрим случай, Обозначим через момент первого выхода из через момент первого после выхода из через момент первого после выхода из через первого после выхода из тогда марковские моменты. Используя строго марковское свойство, можно доказать, что при процесс с вероятностью 1 непрерывен. Далее могут представиться следующие случая движения: (I) при некотором при всех . В случае (I) имеем непрерывно при . В случае если вопрос не возникает. Если

то Однако так как то, начиная с некоторого номера Поэтому для этого Отсюда сразу вытекает, что при непрерывно. То же верно и в случае, когда

Мы говорим, что является точкой диффузии, если в некоторой окрестности процесс является диффузионным. Ясно, что множество точек диффузии является открытым множеством. Если все точки являются точками диффузии, то процесс диффузионный. Пусть все точки являются точками диффузии для Обозначим через а произвольную точку а — точка диффузии, поэтому процесс является диффузионным в некоторой окрестности точки а. Так как пространство компактно, то пусть его конечное покрытие областями, в каждой из которых процесс является диффузионным. Согласно только что доказанному, является диффузионным процессом в Это означает, что он непрерывен до момента выхода из т. е. при Таким образом, процесс -диффузионный. Разумеется, для диффузионного процесса все точки являются точками диффузии, и это можно принять за определение диффузионного процесса.

Оператор называется локальным в точке если для функций таких, что в окрестности

Инфинитезимальный оператор А марковского процесса является локальным в точках диффузии этого процесса.

Доказательство. Пусть а является точкой диффузии. Пусть окрестность а, в которой процесс является диффузионным; тогда то же верно для всех окрестностей а, содержащихся в Далее, пусть и в окрестности V точки Если мы воспользуемся теоремой Дынкина, то получим

Если мы теперь выберем так, чтобы то