§ 55. Феллеровская каноническая форма

Пусть I — интервал регулярности соответственно каноническая шкала и каноническая мера. Пусть локальный инфинитезимальный оператор в Целью настоящего параграфа является вывод канонической формы Феллера:

Начнем, прежде всего, с определения Как и при обычном определении производной, положим, по определению, для фиксированного

Для этого определения достаточно, чтобы было определено только в некоторой окрестности Далее пусть дана функция определенная в открытом интервале Если определено для всех причем непрерывно по то полагаем, по определению,

Для этого, естественно, необходимо, чтобы была непрерывна. Формула (55. 1) утверждает, что оба оператора совпадают в смысле, включающем и область определения и значение.

Лемма 55. 1. Доказательство. Так как 0 можно рассматривать как непрерывную функцию, то достаточно доказать, что для любого о. Воспользуемся в качестве определения соотношением (51.2). Пусть — интервал, являющийся окрестностью и такой, что Если мы! положим то можно написать поэтому достаточно доказать По марковскому свойству

Поэтому

т. е.

Лемма 55.2. Пусть - произвольная фиксированная точка в изменяется в тогда и

Доказательство. Так же, как при доказательстве предыдущей леммы, достаточно доказать, что для любого Если мы рассмотрим окрестность точки такую, что то для

поэтому По предыдущей лемме поэтому если мы покажем, что или, что то же, то доказательство данной леммы будет окончено. Используя марковское свойство, получаем

Лемма 55. 3. Если в некоторой окрестности функция выпукла вниз относительно

Доказательство. Так как функция непрерывна и то в некоторой окрестности точки Достаточно доказать, что если мы выберем произвольные две точки и определим так, чтобы

то для

Так как непрерывная функция, то она принимает наибольшее значение при В случае, когда или неравенство (в виде равенства) выполнено. Если находится внутри то так как принимает максимум в точке Поэтому

Это противоречит тому, что

Теорема 55.1. Если то и в I

т. е.

Доказательство. Пусть Обозначим

тогда, так как

то в некоторой окрестности точки функция выпукла вниз относительно является возрастающей функцией в Следовательно, если мы выберем точки интервала по разные стороны то

а следовательно,

Поэтому

Отсюда

Аналогично, взяв вместо , можно доказать, что Следовательно, . Так как правая часть равенства непрерывна по то отсюда получаем

Теперь докажем обратную теорему.

Теорема 55.2. Если то

Доказательство. Прежде всего определим следующим образом:

Далее определим при всех непрерывно по

Если то поэтому по предыдущей теореме Если то то из -кает, что поэтому

Так как непрерывно по то Поэтому

Далее докажем, что существует Для этого достаточно из вывести Пусть наименьшее значение ; покажем, что тогда Если то в окрестности Допустим, что тогда Поэтому в окрестности Следовательно, убывает, и функция выпукла вниз относительно Таким образом, не может достигать максимума в а и, следовательно, и не может обращаться в минимум в точке а. Это противоречит допущению, поэтому и Далее, в случае, когда так как наименьшее значение, то, по определению, имеем Поэтому . В любом случае и Следовательно, всюду и 0. Далее, заменяя и на — и, получаем Поэтому

Далее, так как то Так как область определения есть все С, то Поэтому

Теперь для того, чтобы закончить доказательство теоремы, достаточно доказать, что если произвольная точка то определено и непрерывно по Достаточно доказать, что непрерывно в любом подинтервале интервала Кроме того, концы К можно считать точками непрерывности Далее, выберем интервал такой, что пусть его концы — также точки непрерывности Построим функцию совпадающую с на К, равную 0 вне и такую, что непрерывно по Если это уже сделано, то входит в область определения а следовательно, и А, откуда вытекает, что непрерывно при Так как на то, используя локальность получаем также непрерывно. Остается построить Вместо можно также строить Так как на а вне то достаточно определить на Из-за непрерывности в точках непрерывности и непрерывности необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять следующие:

Так как функционалы на очевидно, линейно независимы, то такое несомненно, существует.

То же верно и для Этим теорема 55.2 полностью доказана