§ 45. Теорема Дынкина об инфинитезимальном операторе

Как мы уже говорили, соответствие между переходными функциями , полугруппами и марковскими процессами взаимно однозначно. Инфинитезимальный оператор А полугруппы называют также инфинитезимальным оператором переходной функции и «нфинитезимальным оператором процесса Следующая теорема Дынкина дает возможность определять А при помощи

Теорема 45.1. Пусть окрестность Положим

(в случае, когда Тогда для

Кроме того, если стремится к непрерывной функции от а при то , а следовательно, выполнена формула (45. 1).

Далее, соотношение можно уточнить: если выбрать окрестность достаточно малой, то

Доказательство. В случае, когда а — поглощающее состояние, это ясно из того, что левая часть формулы (45. 2) равна 0. В случае, когда а не поглощающее состояние, конечный марковский момент (причем для достаточно малых поэтому по лемме Дынкина

Далее, так как а — внутренняя точка то Из вышенаписанной формулы получаем

Определим как совокупность таких что стремится к непрерывной функции от а, и для таких определим как тогда из сказанного выше вытекает, что . Теперь докажем, что преобразование взаимно однозначно. Для этого достаточно показать, что из Ли вытекает Пусть и — наименьшее значение тогда, по определению имеем следовательно, Поэтому и всюду Далее, так как , то Поэтому Таким образом, существует Так как из следует

то знак обращается в знак равенства, и Поэтому имеем

Теперь придадим другую форму. Положим

Ясно, что носитель этой меры содержится в (в частном случае диффузионного процесса — в , границе U). Имеем

Кроме того, чтобы записать в другом виде введем обозначение (вслучае, когда и, следовательно, ).

Покажем, что при для диффузионного процесса

Можно выбрать измеримую функцию на так, чтобы

Для этого прежде всего положим для замкнутого множества

тогда, так как непрерывно справа, открытое множество, то Для открытого множества V, выбирая последовательность замкнутых множеств приближающих его изнутри, и полагая

получаем Далее,

Учитывая строго марковское свойство, получаем

Таким образом, (45.4) доказано. Так как прежнее совпадает с то

Таким образом, имеем