§ 48. Процессы размножения и гибели

Пусть имеется группа бактерий, число которых изменяется по следующему закону. Одна бактерия за время делясь, превращается в две с вероятностью, равной с точностью до бесконечно малых высшего порядка; с вероятностью за это время она погибает. При этом гибель и деление различных бактерий взаимно незавлсимы. Будем говорить, что система находится в состоянии если имеется бактерий, и рассмотрим процесс перехода системы из состояния в состояние. Пусть в некоторый момент времени было бактерий; рассмотрим, сколько их станет в момент Вероятность деления I бактерий и гибели бактерий равна

Но это выражение, за исключением случаев является

бесконечно малой величиной не менее чем второго порядка относительно Число бактерий в момент в случае равно в случае в случае Следовательно, вероятность того, что из состояния система через время перейдет в с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна

Если хотя бы один раз число бактерий станет равным О, то навсегда останется равным 0; поэтому

Такой случайный процесс называют процессом размножения и гибели. Несколько обобщая (48.1), мы можем рассмотреть процесс, для которого

Этот процесс носит то же название, что и вышеописанный. Например, в случае, когда по мере увеличения источник питания становится менее доступной, число возникших бактерий уменьшается, а число погибших бактерий становится больше; в этом случае

В частном случае, когда говорят о процессе (чистого) размножения; в случае, когда о процессе (чистой) гибели.

Если мы захотим рассмотреть этот процесс, как марковские процессы, о которых говорилось до сих пор, мы столкнемся с одной трудностью. Она состоит в том, что фазовое пространство есть множество и не является компактным. Можно подумать, что для устранения этой трудности достаточно просто добавить и ввести правило

Однако впоследствии мы покажем, что это не всегда хорошо, и укажем, как преодолеть эту трудность.

Будем продолжать наши рассуждения, оставив эту трудность пока в стороне. По аналогии с уже рассмотренным случаем конечного пространства состояний этот процесс можно рассматривать как происходящий следующим образом. Если система выходит из состояния то после экспоненциального времени пребывания (среднее равно ) она переходит в или Вероятности этих двух возможностей равны Из нового состояния или движение происходит так же.

Сначала проведем рассмотрение для процесса гибели. Пусть в дальнейшем все положительны. В этом случае имеет место односторонний процесс уменьшения числа бактерий. Таким образом, в конце концов их число станет равным 0, и все бактерии погибнут. Попытаемся найти распределение времени гибели всех бактерий. Исходя из система совершает переходы поэтому, если обозначить через на которое система задерживается в то время гибели всех бактерий равно

Так как та все независимы и подчиняются экспоненциальным распределениям со средними значениями то распределение есть их свертка. Если мы найдем математическое ожидание то получим

Следовательно, и даже если вначале имеется сколь угодно большое число бактерий, то рано или поздно все они погибнут.

Чтобы определить обозначим через свертку распределений Ясно, что это — функция распределения -вероятность того, что в течение времени до бактерий станет или меньше. Следовательно, вероятность того, что в момент система находится в состоянии равна

где положено

Далее, чтобы эта функция стала переходной функцией на компактном пространстве получаемом добавлением к точки необходимо дополнительно определить соответствующим образом Это нужно сделать так, чтобы для непрерывной функции на функция

была непрерывной. Так как все точки кроме изолированные, непрерывность есть не что иное, как совпадение значения и предела в Например, функция непрерывна; длянее Поэтому необходимо

Чтобы найти этот предел, найдем есть функция распределения сверху добавляется для того, чтобы отметить, что система выходит из состояния Так как подчиняются тем же распределениям, что соответственно также подчиняется тому же распределению, что Поэтому

Поэтому монотонно убывает с возрастанием и имеет предел причем

Отсюда следует, что

Здесь различаются два случая.

(I) В случае, когда силу для имеем

Так как распределение есть свертка

Так как то бесконечное произведение равно нулю. Функции а значит, и являются монотонно неубывающими по поэтому необходимо Отсюда следовательно, , т. е. в этом случае — поглощающее состояние, и приведенное нами выше простое продолжение переходной функции оказывается пригодным.

(II) В случае, когда бесконечное произведение, бывшее ранее равным 0, всегда положительно. При этом при оно стремится к 1 и

Так как вместе с монотонно возрастает по получаем

Отсюда

Следовательно, имеем

Иначе говоря, -мгновенное состояние, и становится существенным переход из со в конечные точки. В этом случае приведенное нами ранее простое продолжение переходной функции недопустимо.

В каждом из рассмотренных случаев не может происходить возрастание из конечных точек к бесконечности; но в случае (I) скорость убывания числа бактерий вблизи меньше, и в качестве естественного продолжения необходимо сделать поглощающим состоянием. Напротив, в случае (II) по мере приближения к убывание становится быстрее, и даже непосредственно из можно попасть в конечное состояние. Так как конечное состояние всегда является задерживающей точкой, то отложив по оси абсцисс время, а по оси ординат — точки и построив график выборочной функции, выходящей из мы получим следующий результат.

Рис. 1.

Теперь поговорим о процессах размножения. В этом случае примем, что все положительны-. Состояние 0, разумеется, поглощающее. Если процесс начинается из то все время происходит возрастание числа бактерий. Если обозначить время, в течение которого число бактерий возрастет до начиная с то по аналогии с предыдущим

Следовательно, процесс из обязательно достигнет состояния Если

то, выходя из 1 (а следовательно, также и выходя из в течение конечного времени процесс достигает сколь угодно больших чисел. Следовательно, для достаточно больших имеем

Поэтому если мы хотим определить марковский процесс на то необходимо положить

Так как то необходимо положить Другими словами, поглощающее состояние. При этом процесс достигает из конечной точки за конечное время и

— это марковский момент, и его называют моментом взрыва. Если

то

Поэтому если положить то и Иначе говоря, взрыв никогда не происходит, и

По той же причине, что и раньше, есть поглощающее состояние.

В случае процессов размножения и гибели возникают интересные явления, зависящие от соотношения величин однако мы не будем этого касаться.