§ 44. Марковские моменты

Приведем свойства и важные примеры марковских моментов.

(I) Если марковские моменты, то также марковские моменты. Действительно,

Если марковские моменты, то также марковский момент. Действительно,

(III) Если марковские моменты, то Нттл — также марковский момент

— марковский момент.

(V) Лемма Дынкина. Если марковский момент, имеющий конечное математическое ожидание, то

Доказательство. Положим тогда Имеем

(VI) Пусть замкнутое множество в Нижнюю грань моментов времени, в которые находится вне называют моментом первого выхода из и обозначают До момента процесс находится в но непременно между выходит из Не ясно, находится ли в момент или нет. Если непрерывен при то находится на границе таким образом, принадлежит марковский момент. Действительно,

здесь - переменное, пробегающее только рациональные числа). То, что имеет место второе равенство, вытекает из того, что открытое множество, непрерывно справа. Правая часть формулы является счетной суммой множеств, принадлежащих и также принадлежит

(VII) Пусть открытое множество в Момент первого выхода из определяется аналогично Из топологических свойств пространства вытекает, что можно рассмотреть последовательность замкнутых множеств, приближающую изнутри:

тогда для диффузионных процессов

Поэтому, согласно (VI) и (II), для диффузионных процессов также марковский момент.

(VIII) В частном случае, когда упоминаемое в (VI) множество состоит из одной точки а, рассмотрим Это тот момент, когда выходящий из а процесс впервые покидает а. Можно назвать эту величину также временем пребывания в а. Попытаемся найти распределение Положим

тогда по марковскому свойству

Действительно,

Следовательно, или или всюду поэтому так как то во втором случае . В случае, когда случае, когда при увеличении от 0 до убывает от 1 до 0.

В случае, когда частица, отправляющаяся из а, в следующий момент выходит из а. Точнее говоря, если произвольно малое положительное число, существует момент времени в промежутке когда она покидает а. Состояние а называется мгновенным состоянием, или точкой мгновенного пребывания.

В случае, когда если процесс выходит из а, то он не может никогда покинуть а. Такое состояние называют поглощающим состоянием.

В случае, когда распределение экспоненциального типа; поэтому величину называют экспоненциальным временем пребывания, точкой экспоненциального пребывания, или задерживающим состоянием.

Следующие условия равносильны друг другу:

(A) а — поглощающее состояние;

Ясно, что Если предположить и учесть, что для то

и имеем Так из этого вытекает Ясно, что Предположим, что выполнено (В); тогда

Итак, при рациональные . Так как непрерывно справа, т. е. а — поглощающее состояние.

(IX) У диффузионного процесса нет задерживающих состояний.

Доказательство. Если поглощающее состояние, то существует функция такая, что Далее пусть первый момент, когда процесс покидает Ясно, что марковский момент. При этом, так как диффузионный процесс непрерывен, то Поэтому по лемме Дынкина (V)

т. е. Устремляя к бесконечности, получаем следовательно, Это означает, что а — мгновенное состояние.

(X) Если а — внутренняя точка (открытого или замкнутого множества), то

Доказательство. Если это математическое ожидание равно 0, то Следовательно,

где множество внутренних точек Однако Это противоречит предположению

(XI) Если а — не поглощающее состояние, то существует окрестность точки а, такая, что ограничено равномерно по . В частном случае диффузионного процесса для любого можно, выбрав соответствующим образом добиться того, чтобы Однако для произвольного марковского процесса последнее не обязательно верно.

Доказательство. Так как а — не поглощающее состояние, то существует функция такая, что Взяв в случае необходимости функцию мы можем считать, что Так как функция непрерывна, то существует положительное число а и некоторая окрестность точки а, такие, что при Если мы положим то по доказанной ранее лемме Дынкина

т. е. Устремляя к бесконечности, получаем

В частном случае, когда процесс диффузионный, Благодаря непрерывности можно добиться, чтобы изменение оставалось меньше Следовательно, По лемме Дынкина

поэтому

В общем случае этого доказать нельзя; например, если рассмотреть задерживающую точку а, то какой бы малой мы ни выбирали больше, чем время пребывания в при этом так как то не может быть меньше, чем . О существовании марковских вроцессов, имеющих задерживающие состояния, мы будем говорить ниже.