§ 59. Классификация граничных точек относительно феллеровского оператора

Отвлечемся от марковских процессов; пусть вообще на интервале заданы непрерывная возрастающая функция и непрерывная справа возрастающая функция Определим по ним, как это делалось выше, оператор его называют феллеровским оператором. Введем 4 типа концов интервала I, относительно оператора регулярная граница, граница-выход, граница-вход, естественная граница.

Для этого прежде всего введем следующие величины:

Пользуясь этими обозначениями, будем говорить, что если то регулярная граница; если то - граница-выход; если то - граница-вход; если то естественная граница.

зависят от выбора но так как их конечность или бесконечность не зависит от этого, то приведенная выше классификация тоже не зависит от выбора.

О вероятностном смысле этой классификации мы будем говорить позже, а сейчас приведем примеры границ 4 типов.

Пример 1. Положим тогда так как то

Поэтому естественная граница. Аналогично также естественная граница.

Пример 2. Пусть ; тогда естественная граница, 0 — регулярная граница.

Пример 3. Пусть . Имеем

Поэтому

Так как в точке О

то 0 граница-вход. Можно проверить, что граница 2 снова является регулярной.

Пример 4. Пусть тогда является границей-выходом, а естественной границей.