§ 35. Переходные функции

Пусть -компактное хаусдорфово пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Следовательно, можно считать, что топология определяется метрикой. Пусть наименьшая -алгебра, содержащая все открытые подмножества Функция от переменного обозначающего время, называется переходной функцией, если выполнены следующие условия.

При фиксированных функция является распределением вероятностей по

(Непрерывность по Для фиксированного при мера слабо сходится к , т. е. для любой непрерывной функции

(Непрерывность Для фиксированного при мера слабо сходится к Другими словами, для любой непрерывной функции

Опираясь на можно доказать, что для фиксированных функция измерима по Для этого докажем, что для любой ограниченной измеримой функции функция

измерима по Действительно, согласно совокупность всех функций обладающих этим свойством, содержит все непрерывные функции. При этом из определения измеримости вытекает, что инвариантно относительно переходов к пределу. Поэтому любая ограниченная измеримая функция принадлежит

Приняв это во внимание, добавим следующее условие.

(Уравнение Чепмена-Колмогорова.)

Из вышесказанного следует, что интеграл в правой части формулы имеет смысл

Интуитивно -вероятность перемещения из в за время Уравнение Чепмена-Колмогорова связано с тем обстоятельством, что для того, чтобы за время переместиться из в множество нужно прежде всего за время переместиться из в некоторую точку у пространства а оттуда за время переместиться в

Пример 1. Пусть конечное множество. Разумеется, с дискретной топологией удовлетворяет вышеприведенным условиям. Чтобы задать функцию , достаточно определить ее в случае, когда одноточечное множество Обозначим значение функции на таком множестве через . В силу условия

Условие выполняется; принимает вид

При фиксированном можно рассматривать как матрицу конечного порядка. Обозначим ее через Формула (35.1) означает, что элементы всегда неотрицательны и сумма элементов каждой ее строки равна 1. Такая матрица называется стохастической матрицей. Условие (35.2) означает, что

Далее, пользуясь матричным умножением, можно записать уравнение Чепмена-Колмогорова в виде

При Пусть компактное пространство, получаемое добавлением к множеству действительных чисел. Для положим

Кроме того, пусть .

Условие разумеется, выполняется. Докажем непрерывность по . В случае, когда , для непрерывной функции

(Так как функция непрерывна в компактном пространстве то она, разумеется, ограничена).

В случае, когда для всех у имеем и так же, как выше,

Непрерывность по вытекает из того, что

Уравнение Чепмена-Колмогорова в области вытекает из свойства нормального распределения для точки оно очевидно.

Пример 3. Пусть определим следующим образом:

То, что эта функция удовлетворяет четырем условиям также легко проверить.

Замечание. Используя из можно вывести (см. § 37) следующее условие.

Для фиксированного при мера слабо сходится к .

Это является причиной того, что называют непрерывностью по