§ 52. Классификация точек одномерной диффузии

Совокупность точек одномерной диффузии является открытым множеством и может быть представлена как сумма не более чем счетного числа компонент. При этом каждая компонента гомеоморфна открытому интервалу. Выберем одну такую компоненту Пусть гомеоморфн» тогда точки можно обозначать действительными числами из

Пусть . С вероятностью 1 процесс непрерывен при . Далее, если

то называется точкой правого переноса.

Пусть окрестность содержащаяся в Всегда поэтому если точка правого переноса, то

и обратно, из этого условия вытекает, что точка правого переноса. Докажем это. Пусть первый момент, когда выходит из через Если этого не происходит, пусть является марковским моментом. Положим тогда марковский момент. Нужно доказать, что Так как

достаточно доказать, что . По определению

[последнее по предположению (52.2)].

Заменяя в на определяем точки левого переноса. Аналогично (52. 2) в этом определении также можно заменить некоторой окрестностью точки

Точка, являющаяся и точкой правого переноса, и точкой левого переноса, на самом деле есть поглощающая точка. Точка, являющаяся точкой правого переноса, но не поглощающей, называется точкой чистого правого переноса. Аналогично определяется точка чистого левого переноса. Те из точек I, которые не являются ни точками правого переноса, ни точками левого переноса, называются регулярными точками.

Совокупности точек левого переноса, точек правого переноса, точек чистого левого переноса, точек чистого

правого переноса, регулярных точек, поглощающих точек обозначаются соответственно .

Множество гомеоморфно интервалу действительных чисел; это гомеоморфное соответствие можно осуществлять многими способами, но они разделяются на два способа в зависимости от направления. Выберем две произвольные точки в будем различать два вида гомеоморфных соответствий в зависимости от того, какое из соответствующих этим точкам чисел больше, а какое меньше. Эта классификация не зависит от выбора двух точек. Точки правого и левого переноса относительно двух одинаково направленных гомеоморфных соответствий совпадают; при противоположно направленных соответствиях левое и правое меняются. При этом определения поглощающей и регулярной точки одинаковы, каково бы ни было гомеоморфное соответствие.

(I) Пусть точка правого переноса; тогда вероятность того, что пройдет справа налево, равна 0.

Доказательство. Пусть момент, когда впервые процесс проходит справа налево; является марковским моментом. (Если этого не происходит, пусть Рассуждением, аналогичным тому, каким ранее выведено (52. 1) из (52.2), можно доказать

(II) Если для всех а, таких, что

то точка правого переноса.

По предположению, если мы зафиксируем для

Выберем между между между По теореме существует стремящееся к 0 вместе с такое, что

Здесь можно выбрать сразу для всех а, таких, что . В частности, по предположению (52.3) для а таких, что

Следовательно, тем более

т. е.

Так как при (в смысле обобщенной слабой сходимости), то

т. е.

Тем более

Из (52.4) для а, таких, что получаем

Если мы, зафиксировав покажем, что

то, устремляя получим, что точка правого переноса. Для этого, учитывая, что непрерывно при достаточно показать, что

По строго марковскому свойству и формулам (52.5) и (52. 6) эта вероятность не меньше, чем

является замкнутым множеством. Доказательство. Достаточно доказать, что если то Предполагая, что или мы не ограничиваём общности.

В случае, когда из того, что используя (I), получаем

Устремляя получаем

т. е.

В случае, когда используя (1), для а, таких, что получаем из того, что

Тем более

Так как это выполняется для любого Поэтому, согласно (II),

(IV) также является замкнутым множеством. Следовательно, также замкнутое множество, а открытое множество.