§ 37. Теория Хилле-Иосиды (I)

Пусть сепарабельное банахово пространство, полугруппа на нем. В определении полугруппы требуется [см. (36.7) предыдущего параграфа], чтобы (слабо). Однако из этого определения вытекает более сильное свойство:

Доказательство мы опускаем. Оно основано на одной теореме Данфорда [19].

Из (37.1) вытекает, что, более того,

Чтобы доказать это, положим теперь достаточно заметить, что

Из этого доказательства очевидно, что сходимость в формуле (37.2) равномерна по таким образом, равномерно непрерывно по

Теория Хилле-Иосиды - это теория инфинитезимального оператора полугруппы. Так как обладает полугрупповым свойством то, даже не зная для всех а зная мы можем найти для любого Здесь может быть сколь угодно малым, но положительным числом. Можно назвать ростком полугруппы . В качестве объекта, дающего характеристику этого ростка в пределе при рассмотрим оператор А, задаваемый формулой

понимается как предел по норме). Его называют инфинитезимальным оператором, или производящим оператором. Областью определения оператора А будем считать совокупность функций для которых существует этот предел.

Ясно, что линейное подпространство — линейный оператор; но, вообще говоря, не совпадает с а оператор А не ограничен. Однако, чтобы облегчить понимание, проведем сначала формальные вычисления в случае, когда А ограничен, При этом пусть соотношение, касающееся оператора

выполнено по норме. Отсюда, устремляя 6 к нулю в соотношении

получаем

Решая это уравнение, как в случае обычных чисел, получаем

Рассмотрим — преобразование Лапласа от

Проводя формальные выкладки, получаем

Так как вместо можно писать :

Иначе говоря, удовлетворяет соотношению

В этом смысле называют резольвентой

Положив в основу вышесказанное, попробуем провести строгое рассуждение в общем случае. Резольвента определяется формулой

Это определение равносильно следующему:

Мы уже отмечали ранее, что непрерывно по и ограничено; поэтому такое определение возможно. Имеем

Следовательно,

и ограниченный линейный оператор.

Далее покажем, что

Для

(см. скан)

Докажем теперь формулу (37.8).

Область значений оператора согласно (37. 7), не зависит от Действительно, так как

то Меняя X и местами, получаем

Поэтому Следовательно, вместо можно писать просто Разумеется, является линейным подпространством; согласно (37.8),

Иначе говоря, — всюду плотное линейное подпространство

Далее, покажем, что Пусть сначала . Так как можно написать то

Поэтому, если то и

Далее, обратим внимание на то, что преобразование взаимно однозначно. Чтобы доказать это, достаточно показать, что из вытекает Так как то Следовательно,

Поэтому откуда следовательно,

Теперь вернемся к первоначальному рассуждению. Пусть докажем, что После этого соотношение будет доказано. Если то существует поэтому положим и пусть ранее сказанному,

поэтому

Так как преобразование взаимно однозначно, то

Подводя итог сказанному выше, получаем, что если (а следовательно, то имеем

При этом преобразование взаимно однозначно, и

Кроме того,

Если то и выполнено следующее уравнение эволюции:

Если то представляется в виде Поэтому