ПОСЛЕСЛОВИЕ

За справками по всей книге следует обращаться к книгам Пояснения к отдельным ее главам приводятся ниже.

Глава 1. В этой главе излагались основные общие понятия теории вероятностей. Для построения теории вероятностей как математической дисциплины удобнее всего колмогоровский метод, основанный на теории меры. В данной книге изложение также следует этому методу, но для успешного практического применения к действительным проблемам и т. д. необходимо в достаточной мере понимать интуитивные основы теории. С этой точки зрения можно рекомендовать книгу Феллера [2].

Основы колмогоровского метода построения теории вероятностей хорошо изложены в книге Колмогорова а также в книге Каваты [6]. Обе эти книги не освещают тонких свойств выборочных функций случайных процессов. Для этого необходимо ввести дубовскую сепарабельность. В первых работах Дуба эта точка зрения проводится несколько непоследовательно; эти работы содержат неясности и трудны для чтения, но в книге Дуба [3] все упорядочивается и доводится до конца.

Глава 2. В данной главе рассматривается в основном случай, когда временной параметр непрерывен (процессы с независимыми приращениями). Что касается

случая, когда этот параметр является дискретным (последовательность с независимыми приращениями), то он излагается в пределах, необходимых для изучения процессов с независимыми приращениями. Например, закон больших чисел, центральная предельная теорема и т. д. опущены. Для восполнения этих пробелов хороши япон-ские книги [6]-[9]. Кроме того, эти результаты хорошо изложены в книге [10].

Относительно процессов с независимыми приращениями наиболее богаты содержанием книги Леви [4], [5], но они трудны для чтения. Основная часть результатов этих работ изложена более доступно для понимания в соответствии с колмогоровским методом в книге Дуба [3] и книге Ито [8].

Глава 3. Здесь излагаются в общих чертах основные факты теории стационарных процессов. Не затронуты факты, относящиеся к теории экстраполяции, интерполяции и фильтрации стационарных процессов, развитой Винером, Колмогоровым и Гренандером. Об этом круге Еопросов говорится в курсе лекций Каваты [14]. Для справок можно рекомендовать [11], [12], [13] и главу 12 книги Дуба [3] В связи с приведенными в этой главе без доказательств результатами, относящимися к обобщенному гармоническому анализу, рекомендуется смотреть [15].

Глава 4 и глава 5. В этих двух главах мы ограничиваем предмет рассмотрения однородными по времени марковскими процессами и называем их просто марковскими процессами. Причиной этого является то, что именно в этом случае можно построить законченную теорию. Однако исследование и этого случая ни в коей мере нельзя считать исчерпывающим. Глава 4 излагает только основы теории, а глава 5 знакомит читателя с недавно развитой теорией Фелдера, касающейся диффузии. При этом используется метод Дынкина. Имеется много работ, касающихся эргодических свойств марковских процессов, но от изложения этого круга вопросов пришлось отказаться из-за недостатка места.

Классические результаты систематизирование излагаются в [16]. Как показывает заглавие, эта книга

относится к марковским процессам с конечным числом состояний. Работой, открывшей изучение марковских процессов со счетным числом состояний, является [17]. Чжун Кай-лай публикует большое число исследований содержащих более подробные и точные результатып. Из японских книг, куда молено обращаться за справками по этим вопросам, хороша книга Маруямы [9].

Имеется также много исследований, относящихся к неоднородным по времени марковским процессам, в частности, можно рекомендовать книги Феллера [2], Ито [8], Дуба [3]. Крайне желательно также ознакомление со статьей [18], являющейся исходной точкой исследований в этом направлении.