§ 53. Феллеровская стандартная шкала

Как было сказано в предыдущем параграфе, множество точек одномерной диффузии является открытым множеством, и каждая его компонента гомеоморфна интервалу действительных чисел. Следовательно, точки этой компоненты можно обозначать точками интервала Возьмем в этой компоненте только регулярные точки; это опять открытое подмножество следовательно, оно является суммой не более чем счетного числа интервалов. Выберем такой интервал или его подинтервал и обозначим его Все точки в являются регулярными точками. Будем называть I интервалом регулярности.

Выберем подинтервал интервала I так, чтобы . Интервал включая даже его концы, состоит только из регулярных точек. Будем обозначать через вероятность того, что выходящий из а процесс достигнет раньше, чем через вероятность того, что он достигнет раньше, чем тогда

есть вероятность того, что процесс останется навсегда в Как (показывает следующая теорема, эта вероятность равна 0.

Теорема 53.1

При возрастании а от до непрерывно возрастает (в узком смысле) от 0 до 1.

Доказательство разобьем на пять этапов.

есть вероятность того, что процесс, выходя из а, достигнет раньше, чем но для того, чтобы это произошло, нужно, выходя из а, достигнуть раньше, чем а затем, выходя из достигнуть раньше, чем Рассмотрим момент когда достигает раньше, чем (если этого не происходит, пользуясь для этоцо марковского момента строго марковским свойством, получаем (53.1).

Чтобы доказать это, предположим, что существует такое а, что и выведем из этого противоречие. Пусть В — совокупность таких в которых Ясно, что Пусть — нижняя граница В. Пусть то по (I)

Если

Но так как поэтому . В любом случае ясно, что Это означает, что

Устремляя изнутри В к получаем

Согласно (II) предыдущего параграфа, является точкой левого переноса (в предыдущем параграфе говорится о точках правого переноса, но то же верно и для точек левого переноса). Так как все точки регулярные, это является противоречием. Следовательно, Аналогично поэтому

(III) Из (I) и (II) получаем, что при

Этим заканчивается доказательство за исключением части, относящейся к непрерывности.

(IV) Теперь докажем есть вероятность того, что навсегда останется в У. Достаточно доказать Пусть открытое множество; если для вероятность того, что навсегда останется в равна 0, будем говорить, что множество покидаемое множество. Если покидаемое множество, то то же верно и для Так как не поглощающее состояние, то по свойству (XI) § 44 для достаточно малой окрестности точки а следовательно, покидаемое множество. Далее покажем, что если два интервала являются покидаемыми, то их сумма снова покидаемое множество. Пусть тогда в случае движения когда происходят переходы

процесс выходит из он навсегда остается в в случае, когда происходят переходы

(Так как покидаемые множества, то, кроме этого, не может произойти ничего.) Вероятность того, что процесс навсегда останется в равна

так как то это бесконечное произведение равно 0. То же самое — в случае, когда Покроем конечным числом покидаемых интервалов (лемма Бореля о покрытиях); используя только что полученный результат, можно покрыть одним покидаемым интервалом. Поэтому интервал тоже покидаемый. Это означает, что

(V) Докажем последнее, что нам осталось: непрерывность в Прежде всего покажем, что

По доказанному в (IV) с вероятностью 1 конечно. Если то возьмем наибольшее значение при оно меньше, чем Поэтому, если выбрать достаточно близким к достигает у, раньше, чем Следовательно, если выбрать так, что то если для любого процесс достигает раньше, чем то на самом деле он достигает раньше, чем Поэтому

При этом убывает с увеличением (так как при поэтому (53.3) доказано.

Далее, по (I) и (53. 3)

Поэтому непрерывно при Аналогично и непрерывно при Следовательно, непрерывно при Используя это, получаем, что при а

Аналогично при а поэтому при о

В силу этого непрерывно по а.

Теорема 53.2. Если то для

Доказательство. Достаточно применить строго марковское свойство к марковскому моменту

Полагая в этой теореме , получаем

— константы, зависящие от двух интервалов Используя это, получаем следующую фундаментальную теорему.

Теорема определяется однозначно с точностью до линейного преобразования непрерывная строго возрастающая функция такая, что для любого

Доказательство. Чтобы определить одну функцию зафиксируем выберем произвольный интервал содержащий и положим

Здесь определены так, чтобы

Теперь возьмем вместо У больший интервал и определим аналогично По предыдущей теореме для линейно выражают друг через друга. Следовательно, также получаются друг из друга линейным преобразованием. При этом, так как по . В частности, в точке Это означает, что определение

не зависит от выбора Далее, по определению, является линейным выражением от причем поэтому соотношение, о котором говорится в теореме, выполнено.

Пусть есть две функции удовлетворяющие условиям теоремы, скажем, тогда в любом интервале они линейно выражаются друг через друга. Коэффициенты этого линейного соотношения определяются только по двум значениям а; поэтому они не зависят от выбора

Функция о которой говорится в этой теореме, называется канонической шкалой в Она имеет (внутренний) вероятностный смысл и не зависит от выбора координат в I (от способа установления гомеоморфного соответствия с интервалом действительных чисел). Каноническая шкала вместе с канонической мерой, о которой мы будем говорить в следующем параграфе, введены В. Феллером.

Пример. Пусть винеровский процесс на Пусть состоит только из регулярных точек. Покажем, что По симметрии винеровского процесса

Следовательно,

Так как функция непрерывна, отсюда вытекает, что она имеет вид