§ 50. Теорема Рэя

Рассмотрим марковский процесс Точка из называется точкой первого порядка, если в окрестности гомеоморфно интервалу. Это определение касается только свойств , а не процесса Ясно, что точки первого порядка образуют открытое множество. Если является точкой первого порядка и точкой диффузии называется точкой одномерной диффузии Такие точки также образуют открытое множество.

Пусть точка диффузии, -окрестность Так как точка диффузии, то для выходящего из марковского процесса вероятность выйти из за достаточно короткий промежуток времени, как легко видеть, бесконечно мала. Теорема о которой говорится в этом параграфе, утверждает, что эта бесконечно малая величина есть

Теорема 50.1. Если — точка одномерной диффузии то

где окрестность

Доказательство. По предположению, все близкие к точки являются точками одномерной диффузии. Так как увеличивается при уменьшении достаточно провести доказательство только для случая, когда все точки точки одномерной диффузии. Так как имеет окрестность, гомеоморфную интервалу, то точки в некоторой окрестности можно обозначать соответствующими точками интервала, т. е. действительными числами. Тогда и можно рассматривать как интервал

Предположим, что (50. 1) не выполнено; тогда существуют такие, что

Теперь пусть — момент времени, когда впервые выходит из через конец . В случае, когда навсегда остается в или же выходит из через конец полагаем, по определению, Несколько подробнее можно сказать следующим образом. Пусть

— время первого выхода из Предположим, что тогда, так как состоит только из точек диффузии, то равно граничной точке точке или Положим, по определению,

Заменяя на определяем Из (50.2) получаем

Поэтому для бесконечного числа индексов выполнено

или для бесконечного числа выполнено

Достаточно показать, что одйо из этих неравенств ведет к противоречию; например, выведем противоречие из второго. Изменим обозначения и будем выводить противоречие из неравенства

Если мы выберем у между то

Здесь — момент определенный для интервала (и,, вместо По строго марковскому свойству последняя вероятность равна

где определяется для аналогично с заменой точки на у. Отсюда, согласно (50. 3), для получаем

Положим

Выборочные функции непрерывны и всегда находятся в Поэтому, если мы выберем достаточно малое то

Так как выборочные функции равномерно непрерывны при то некоторого

Однако

Так как измеримо относительно то это выражение равно

Случайная величина на множестве равна следовательно, находится в Так как то, согласно

больше, чем Имеем

что противоречит (50. 6).

Теорема 50. 2. Пусть открытое множество гомеоморфно интервалу, причем все точки являются точками диффузии. Если замкнутое подмножество то равномерно для

Доказательство. Если мы проведем доказательство, уменьшив и увеличив то мы только усилим утверждение; поэтому можно считать, что каждая точка также является точкой одномерной диффузии, гомеоморфно отрезку Пусть Тогда в силу предыдущей теоремы

Здесь можно считать независимым от Используя строго марковское свойство для получаем

Здесь — распределение момента, когда выходит из через

Прослеживая доказательство теоремы 50. 1, легко заметить, что доказано больше, чем требовалось, а именно

Если мы теперь обозначим через вероятность того, что достигнет в промежутке то левая часть последней формулы равна Следовательно, имеет место

Теорема 50. 3. Приведенные выше две теоремы выполнены также для