§ 62. Решение неоднородного уравнения

В предыдущем параграфе мы нашли решение однородного уравнения, положительное, убывающее и такое, что и само и и имеют конечный предел. Будем

обозначать его Аналогично существует и положительное возрастающее решение и для него существуют такие же пределы в

как говорилось в предыдущем параграфе, является константой, и, рассматривая легко убедиться, что Поэтому можно считать так как, например, к их можно приписать подходящий положительный множитель.

Теперь положим

Ядро К непрерывно и симметрично относительно пары переменных Кроме того, ясно, что

Далее, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения

положим

Здесь ограниченная непрерывная функция. То, что имеет смысл (т. е. определен вышенаписанный интеграл) и что непрерывно по вытекает из того, что

Здесь обозначает

Поскольку мы установили, что интегральный оператор К имеет смысл, ясно, что он положителен и линеен.

Далее, чтобы доказать, что функция удовлетворяет (62. 1), используем лемму 61. 1 предыдущего параграфа:

Производя еще раз выкладку такого же рода и используя соотношение получаем

Если одна из границ или обе — регулярные, то соответствующих им решений бесконечно много, и способов определения К, а следовательно и бесконечное число; но любое из этих ядер обладает свойствами, о которых говорилось выше.

Если мы исследуем пределы в обеих граничных точках, то получим следующую теорему. Будем обозначать просто через

Теорема 62. 1.

А. Если регулярная граница, то

B. Если граница-выход, то

C. Если граница-вход, то

D. Если естественная граница, то существует, если существует

Доказательство. А ясно, С легко доказать. Для того чтобы доказать необходима техника. Здесь мы докажем только В. Таким же образом можно доказать и

Так как

достаточно доказать, что Имеем:

Учитывая, что — , получаем

Пример Пусть . Границы являются естественными. Поэтому и, и определяются однозначно с точностью до постоянного множителя. А именно, решая уравнение

получаем

Так как заменим на тогда станет равным единице. Поэтому

Так как