§ 64. Поведение в концах интервала регулярности

Будем использовать обозначения предыдущего параграфа без изменения. Так как гомеоморфно то существуют точки I, соответствующие сколь угодно близким к действительным числам, но нет точки, соответствующей самому Если конечно, то является точкой границы Пусть одна из точек границы тогда существует последовательность точек из сходящаяся к Последовательность действительных чисел, соответствующих (координат ), имеет в качестве предельных точек какую-либо одну из точек или обе. Следовательно, можно предположить, что она имеет в качестве предельной точки какую-либо одну. Теперь, если имеет в качестве предельной точки будем говорить, что соответствует Одна точка может соответствовать двум и разным может соответствовать одно и то же Последнее возможно только в случае.

когда естественная граница (см. теорему 64.1). Пусть и соответствуют Имеем Так же, как в предыдущем параграфе, в

В случае, когда — граница-вход, поэтому, чтобы имела место эта формула, необходимо Так как существует и то

Таким же образом Согласно Так как -произвольный элемент имеем Далее, в случае, когда граница-выход или регулярная, также конечно, отсюда так же, как выше, получаем Поэтому выполнена

Теорема 64.1. Если не естественная граница, то точка границы I, соответствующая единственна.

(I) Исследуем поведение в граничной точке, соответствующей естественной границе. Пусть естественная граница; тогда соответствующих ей точек границы, вообще говоря, много, и они образуют замкнутое подмножество пространства При этом выходящин из процесс навсегда остается — в Если рассмотреть непрерывную функцию на равную 0 в окрестности множества то равно 0 на в окрестности Поэтому так как существует и, разумеется, равно 0. Следовательно, имеем Теперь выберем так, чтобы она была равна 0 на вне и находилась между 0 и 1 в тогда

Так как левая часть неравенства равна Полагая получаем Так как непрерывно, то имеем

В частности, если одна точка, то она является поглощающей. Равным образом, выходя изнутри I, невозможно за конечное время прийти в через

(II) Рассмотрим границу-выход. Пусть граница-выход. Так как соответствующая точка границы только одна, то обозначим ее тоже через Выберем окрестность точки эта окрестность содержит интервал Обозначим через момент первого достижения точки если до этого момента не выходит из в противном случае положим Пусть

тогда, если а находится внутри то

Поэтому

Если -граница-выход, то Поэтому имеем Это показывает, что если процесс выходит из то он не может войти в через конец Как мы говорили ранее, вероятность достигнуть из положительна. Это является причиной того, что называется границей-выходом.

(III) Рассмотрим случай границы-входа. Уже было сказано, что невозможно достигнуть границы-входа со стороны Точка границы соответствующая границе-входу единственна. Будем обозначать ее также через Предположим, что является точкой диффузии тогда, если процесс выходит из он сразу же входит в I и после этого не достигает со стороны Это является причиной того, что называется границей-входом.

Сначала докажем, что не поглощающее состояние. Выберем непрерывную функцию на и пусть, в частности, точка в При

Здесь относится к интервалу Поэтому она равна и при стремится к положительному значению Поэтому

Если поглощающее состояние, то левая часть всегда равна а правая часть, поскольку при достаточно малом к положительна. Это является противоречием. Поэтому не поглощающее состояние. Кроме того, можно доказать, что если процесс исходит из то он непременно сразу входит в но так как доказательство этого сложно, то мы его опускаем. Отсюда вытекает, что обобщенная точка правого переноса.

Рассмотрим инфинитезимальный оператор в Выберем достаточно малую окрестность точки такую, что . Далее, пусть момент первого достижения из Так как есть точка переноса, то, чтобы выйти из необходимо пройти поэтому Пусть тогда

Но по теореме Дынкина

Следовательно, Иначе говоря, Отсюда

Здесь произвольно выбранная постоянная, меньшая В качестве нельзя взять так как тогда последний интеграл расходится, а и зависят от и формула годна только при Перепишем ее в виде

Полученная формула не содержит и выполнена всюду. Так как то непременно (нужно принять внимание, что Таким образом,

Следовательно, по теореме 56.1

(IV) Что касается поведения в регулярной границе имеется несколько различных возможностей, что соответствует многообразию способов выбора в регулярной границе. Здесь мы рассмотрим случай, когда превращается в конец также в окрестность состоит только из и точек . В этом случае поглощающая точка или обобщенная точка правого переноса. В случае поглощающей точки и имеем

В случае обобщенной точки правого переноса, так же, как в случае (III), если мы найдем то получим

Так как выбирается с точностью до аддитивной постоянной, то, полагая можно написать

Так как то Это означает, что

Имеем

Если принадлежит не только но и где окрестность то при

— Поэтому

Если

Это называется граничным условием отражающего экрана. Если то по непрерывности имеем

Это называется граничным условием обобщенного отражающего экрана; оно впервые введено Феллером.

Исследуя вероятностный смысл приведенных выше граничных условий, можно выяснить много интересного.